Analyse des singularités topologiques dans quelques problèmes issus de la physique mathématique – MAToS

Le thème principal de ce projet se situe dans le domaine de l'analyse nonlinéaire, au carrefour entre les équations aux dérivées partielles nonlinéaires et le calcul des variations. Nous étudierons la structure et les propriétés dynamiques des singularités topologiques qui apparaissent dans quelques problèmes variationnels issus de la physique. Les systèmes considérés sont des modèles concrets et réalistes qui apparaissent en micromagnétisme (les équations de Landau-Lifshitz), en supraconductivité, superfluidité, condensation de Bose-Einstein, ou en optique nonlinéaire (les équations de Gross-Pitaevskii). Nous nous intéresserons particulièrement aux tourbillons, aux ondes progressives et aux parois dans les films ferromagnétiques minces. Ces structures sont bien observées expérimentalement et numériquement et jouent un rôle majeur dans la dynamique des systèmes physiques correspondants.

Les principaux défis portent sur la description des structures microscopiques et l'analyse de phénomènes se produisant à des échelles spatiales ou temporelles très différentes. Ils nécessiteront souvent l'utilisation de techniques récentes (comme la Gamma-convergence ou les estimations elliptiques raffinées) et le développement de nouveaux outils mathématiques. Notre objectif est d'accomplir des progrès significatifs sur des problèmes mathématiques difficiles et de porter ainsi un nouvel éclairage sur des phénomènes physiques encore insuffisamment compris.

Les outils mathématiques que nous souhaitons développer ont aussi leur propre intérêt du fait de leur richesse, de la variété des outils développés et des liens qu'ils révèlent entre différents domaines : l'analyse, les équations aux dérivées partielles et la géométrie.