Stabilité du comportement asymptotique d'EDP, de processus stochastiques et de leurs discrétisations. – STAB

La plupart des phénomènes physiques, biologiques ou économiques peuvent être décrits par des équations d'évolution. Ces équations peuvent être linéaires ou plus souvent non-linéaires, réversibles ou non-réversibles, déterministes ou stochastiques. Il est alors intéressant de connaître certaines propriétés qualitatives de leurs solutions, en particulier leur régularité et leur comportement en temps grand: ces propriétés peuvent être étudiées par des méthodes analytiques, probabilistes ou par des méthodes d'approximation.
Le cadre réversible, dans lequel l'opérateur sous-jacent de l'équation aux dérivées partielles est symétrique, ou de manière équivalente dans lequel la loi du processus stochastique est invariante par retournement du temps, est bien compris. Dans ce cadre, l'étude du comportement en temps grand et de la régularité est fondée sur des inégalités fonctionnelles comme les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique. Ces inégalités contrôlent des fonctionnelles de Liapounov de l'évolution (entropie); on les obtient par exemple par des méthodes de Bakry-Emery ou par l'utilisation de conditions de Liapounov (provenant des méthodes MCMC). Dans certains cas la compréhension de la dynamique est précisée par l'introduction de méthodes d'approximation particulaire (grands systèmes d'équations différentielles couplées), ou grâce à l'interprétation due à F. Otto de l'évolution comme flot de gradient d'une fonctionnelle d'entropie par rapport à la distance de Wasserstein, qui fournit ainsi une discrétisation en temps naturelle.

Dans ce projet ANR, nous souhaitons étudier, en sortant de ce cadre académique, la stabilité et la stabilisation d'équations d’évolution à la fois réalistes et plus complexes, en particulier non-réversibles et/ou dégénérées. Par exemple nous nous intéressons à des équations hypoelliptiques de type Fokker-Planck cinétique, à des équations de type Navier-Stokes, à des modèles de polymères, à des équations de champ moyen ou à des systèmes d'équations de réaction-diffusion modélisant certaines réactions chimiques. Pour de tels modèles les techniques utilisées dans le cas réversible doivent être raffinées et étendues, mais surtout de nouvelles techniques doivent être développées, qu'elles soient analytiques, probabilistes ou numériques. Nous comptons en particulier développer l'aspect numérique de l'étude de tels modèles. La stabilité des schémas numériques est essentielle et repose sur l'étude d'inégalités fonctionnelles discrètes et les processus stochastiques associés (processus à sauts). Estimer les constantes intervenant dans ces inégalités est un problème majeur, que nous comptons étudier par des méthodes basées sur la courbure dans les espaces discrets, l'étude des fonctions extrémales, ou alors grâce aux fonctions de Liapounov développées dans d'autres cadres par les membres de ce projet.

Les questions à l'étude sont à l'interface de l'analyse, des probabilités et de l'analyse numérique: ce projet ANR rassemble donc des chercheurs de ces différents domaines, spécialistes d'EDP, de processus de Markov discrets ou continus, et d'analyse numérique.