Combinatoire Additive: Ensembles, Séquences et Applications Remarquables – CAESAR

Partant de questions concernant la structure additive des ensembles d'entiers, la "combinatoire additive" s'est plus récemment intéressée à des questions similaires dans le cadre de groupes plus généraux. Ce domaine se caractérise par la diversité des méthodes et des outils employés pour résoudre les problèmes: algébriques, combinatoires, probabilistes ou analytiques.

Historiquement, le théorème des quatre carrés de Lagrange a été l'un des premiers résultats apparenté au domaine. Il a été suivi par d'importants travaux notamment de Cauchy, Goldbach, Waring et Davenport. Le travail plus récent de Freiman portant sur la structure des ensembles d'entiers de petit double a été l'une des pierres angulaires récentes de la théorie. De même le théorème de Szemeredi sur l'existence de progressions arithmétiques "longues" dans les ensembles denses, le théorème de Green-Tao sur les progressions arithmétiques arbitrairement longues dans les nombres premiers ou encore la preuve de la conjecture de Kemnitz. Tout ces résultats ont focalisé en leur temps l'attention internationale.

Les recherches qui seront conduites au sein de ce projet concernent différents problèmes portant sur les ensembles et les suites dans les groupes (principalement commutatifs, mais le cas non commutatif ne sera pas négligé). Pour ce qui concerne les ensembles, nous chercherons à améliorer les bornes inférieures pour le cardinal des sommes de sous-ensembles, nous étudierons les notions d'expanseurs et de modèles de Freiman; nous utiliserons également des méthodes analytiques pour étudier des questions liées à la théorie du crible, aux ensembles sans structure arithmétique, à l'uniformité de grand degré ou encore à la théorie des bases additives. En ce qui concerne la partie "suites finies", nous nous concentrerons sur les problèmes de somme nulle dans les groupes abéliens. En particulier, nous étudierons différents problèmes liés au théorème d'Erdos-Ginzburg-Ziv, à la valeur de la constante de Davenport pour certains groupes (ainsi que les problèmes inverses associés) et au nombre de Krause (problèmes directs et inverses) ainsi que les applications de ces résultats à la théorie de la factorisation non unique.

Un séminaire régulier, une (ou deux) conférences internationales et un site internet (à créer et gérer dans le cadre du projet) permettront d'organiser un forum d'échange d'idées et de diffusion de résultats sur les sujets de ce projet et certains sujets connexes.