Equations de Hamilton-Jacobi sur des structures hétérogènes et des réseaux – HJnet

Nous proposons un projet sur les équations de Hamilton-Jacobi dans des réseaux ou dans des structures hétérogènes. Ce problème théorique a plusieurs applications, en particulier à la théorie du trafic routier, qui a été jusque là beaucoup étudiée du point de vue des équations de conservation mais très peu du point de vue des équations de Hamilton-Jacobi. Si le thème du contrôle optimal discret sur des réseaux a été beaucoup étudié, il n'y a presque rien dans la littérature dans le cas où le coût et la dynamique varient en fonction du temps et de l'état. Du point de vue des équations de Hamilton-Jacobi, la difficulté vient du fait que dans un réseau, l'ensemble des contrôles admissibles change brutalement quand on passe d'un point situé à l'intérieur d'une branche, où une seule direction est admissible, à un point de jonction où les directions admissibles sont celles des branches connectées à ce point. Donc, même si les données du problèmes sont régulières, le Hamiltonien présente un caractère discontinu par rapport à la variable d'état. Ce genre de discontinuité est à la limite de ce qu'on sait faire en théorie des solutions de viscosité et presque tous les problèmes associés sont ouverts. Nous pensons qu'il y a matière à proposer un projet ANR blanc de trois ans, centré sur le sujet des équations de Hamilton-Jacobi sur les structures à jonction. Il y aura quatre partenaires: Rennes (IRMAR), Paris 7 (LJJL), École Nationale des Ponts et Chaussées (CERMICS) et Tours (LMPT). Nous prévoyons d'étudier plusieurs aspects de ce thème. La première tâche, qui est fondamentale, consistera à établir une théorie robuste des solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi sur des réseaux et des structures hétérogènes, ainsi qu'à étudier des problèmes plus généraux, comme par exemple des problèmes avec Hamiltoniens discontinus. Une autre tâche importante sera d'étudier les applications au trafic routier: on commencera par des modèles de trafic routier dans des jonctions divergentes, puis on envisagera des modèles de plus en plus complexes pour inclure des approches micro-macro, des jonctions avec des proportions variables dans les différentes directions, des jonctions convergentes, des jonctions avec lois de priorité. On comparera nos résultats avec ceux obtenus en utilisant des lois de conservations. Il sera aussi important d'étudier des problèmes de perturbations singulières pour des domaines dont l'épaisseur tend vers zéro, et de voir si à la limite, on obtient bien la notion de solution des équations de Hamilton-Jacobi préalablement mentionnée. On considèrera aussi des problèmes d'homogénéisation. En particulier, on considèrera le cas où les réseaux deviennent de plus en plus denses, avec en vue des modèles homogénéisés de trafic dans des villes. On s'intéressera à des jeux différentiels, (qui conduisent à des Hamiltoniens non convexes) en se posant les mêmes questions que pour les problèmes de contrôle optimal, en particulier sur la bonne notion de solution de viscosité. Puis on considèrera des problèmes de jeux à champ moyen sur les réseaux avec entre autres des applications au trafic routier. Finalement, la question des méthodes numériques sera traitée. L'organisation générale du projet sera assez standard pour un projet de mathématiques appliquées: de nombreuses journées de travail rassembleront les chercheurs du projet et seront alternativement organisées par les différents partenaires. On organisera aussi un congrés au bout d'un an et demi à Tours et un congrés de clotûre à Rennes. On y invitera les scientifiques reconnus dans le domaine et on y présentera nos résultats.