Géométrie Des Sous-groupes – GDSous/GSG

Il s'agit d'un projet recherche sur les mathématiques fondamentales. Il mélange la géométrie au sens large, la topologie de basse dimension, la théorie des groupes, les systèmes dynamiques et l'analyse géométrique.

Ces dernières années, la démonstration de la conjecture de géométrisation de Thurston a considérablement amélioré notre compréhension des 3-variétés. Cependant, trois questions majeures concernant la structure des 3-variétés hyperboliques et de leurs groupes fondamentaux restent à résoudre.

Les deux premières questions, connues comme les conjectures "virtuellement Haken" et "virtuellement fibrées" affirment qu'une 3-variété hyperbolique admet un revêtement fini qui contient une surface essentielle ou, mieux, une fibration en surfaces au-dessus du cercle; la dernière question, la conjecture de Cannon, propose une caractérisation dynamique de son groupe fondamental.

Ces questions peuvent s'énoncer en termes plus algébriques. Pour les deux premières, il s'agit de savoir si un groupe kleinéen cocompact ou de covolume fini contient un sous-groupe de surface (c.à.d. une surface immergée) qui aurait de bonnes propriétés de séparabilité (qui permettraient de la désingulariser dans un revêtement fini) ou un ensemble limite spécifique (la surface serait alors la fibre virtuelle d'une fibration au-dessus du cercle). La troisième conjecture peut être abordée en recherchant des scindements en briques élémentaires.

Motivé par ces questions qui montrent l'importance de comprendre la structure des sous-groupes de certains groupes, l'objet de ce projet est de développer les techniques pour détecter des sous-groupes particuliers (de surface, quasiconvexes) dans les groupes qui apparaissent en géométrie (groupes (relativement) hyperboliques, CAT(0), et de convergence), et d'étudier leurs propriétés ou d'établir des conditions qui assureraient certaines propriétés. Notons que, comprendre les sous-groupes, c'est aussi comprendre les scindements du groupe.

Les outils principaux que nous souhaitons exploiter pour ces problèmes sont les suivants:
1. les cubulations. Elles ont été utilisées par Wise et al. et elles fournissent un cas où la conjecture de fibration virtuelle au-dessus du cercle est vraie.
2. la cohomologie Lp. Elle a été exploitée par Bourdon pour exhiber des scindements de groupes hyperboliques.
3. la dynamique de l'action induite sur le bord. Observons que son rôle est primordial pour la caractérisation dynamique des groupes kleinéens.

Bien que la résolution de ces conjectures soit une tâche très ambitieuse, nous espérons obtenir des résultats éclairant le sujet. Nous espérons aussi comprendre si des propriétés connues pour les 3-variétés hyperboliques sont vraies dans un cadre plus général (groupes (relativement) hyperboliques et CAT(0)).

Un point fort du projet est de réunir des mathématiciens travaillant sur des sujets différents mais sur des questions liées, c.à.d, sur la géométrie et la combinatoire des groupes, la topologie de basse dimension, la géométrie hyperbolique, la dynamique conforme, etc. Un des aspects du projet sera d'encourager les chercheurs à partager leurs compétences et d'acquérir de nouveaux savoirs.

Ce projet sera structuré par des ateliers semestriels qui auront le triple rôle suivant: fixer les prérequis nécessaires, présenter les questions principales et les progrès obtenus, et mettre en place de futures collaborations.