Correspondance de Langlands p-adique : une approche constructive et algorithmique – CLap-CLap

La correspondance de Langlands p-adique est devenue, aujourd'hui, l'un des plus thèmes de recherche, parmil les plus profonds et les plus féconds, en théorie des nombres. Elle a été, pour la première fois, imaginée au début des années 2000 en France par Breuil. Son objectif est de comprendre les relations entre représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique, d'une part, et représentations p-adiques de groupes réductifs p-adiques, d'autre part. Au delà du cas de GL2(Qp) qui est bien établi aujourd'hui, la correspondance de Langlands p-adique demeure très mystérieure et de nouveaux phénomènes, encore incompris, font leur apparition. Par exemple, du côté de GLn(F), se profile une très vaste diversité de représentations, dans laquelle il semble extrêmement difficile de mettre de l'ordre.

Le projet ANR CLap-CLap se fixe pour objectif d'accélérer le développement de la correspondance de Langlands p-adique au delà du cas de GL2(Qp). Son originalité est son approche constructive, qui s'appuie en grande partie sur l'algorithmique et les calculs sur ordinateurs que nous souhaitons mettre en place à chaque étape de notre projet de recherche. Plus précisément, nous nous fixons trois sujets d'étude intimement reliés :
(1) dresser un tableau conjectural de ce que devrait être la correspondance de Langlands p-adique dans le cas de GLn
(2) calculer explicitement de nombreux espaces de déformations galoisiennes et établir un lien avec les espaces de déformations des groupes réductifs
(3) concevoir de nouveaux algorithmes pour la manipulation des formes modulaires de Hilbert et de Siegel et de leurs représentations galoisiennes associées (dans lequelles la correspondance de Langlands est supposée se réaliser).

Enfin, ce projet sera l'occasion de contribuer au développement du logiciel libre de calcul formel SageMath, ainsi qu'à l'introduction puis à l'utilisation quotifienne des méthodes calculatoires dans ce domaine.