Différentiateurs et commandes homogènes par modes glissants multivalués en temps discret: l'approche implicite – DIGITSLID

La commande par modes glissants est l'une des techniques de feedback non-linéaires les plus répandues et appliquées en Automatique. Ce succès est dû à leur robustesse vis-à-vis de larges classes de perturbations, la stabilité en temps fini du système bouclé, ainsi qu'à leur facilité de règlage. Ces commandes sont par essence multivaluées, et conduisent en général à des systèmes en boucle fermée représentés par des inclusions différentielles (par exemple, au sens de Filippov). On peut les classer en deux grandes catégories: les commandes d'ordre un (modes glissants ``classiques''), et les commandes d'ordre élevé (dont les plus connues sont les algorithmes de twisting et super-twisting). Les observateurs d'état par modes glissants, en particulier les différentiateurs exacts (dits de Levant), constituent également une classe d'observateurs très prometteurs, du fait de propriétés de robustesse et de convergence en temps fini. Ils appartiennent à la classe des systèmes dynamiques dits homogènes, qui sont l'objet de nombreuses études actuellement du fait de propriétés très intéressantes (entre autres, au niveau de la stabilité). Ces familles de commandes et d'observateurs souffrent cependant d'une faiblesse bien connue: le broutement (``chattering'' en anglais), qui conduit à des oscillations de haute fréquence sur la variable de glissement (sortie), ainsi qu'à des entrées de type bang-bang haute fréquence, extrémement dommageables pour les actionneurs. Une origine importante du broutement est une mauvaise discrétisation, une autre peut être due à des dynamiques négligées. Il est par exemple aujourd'hui établi que la discrétisation explicite, conduit invariablement à du broutement numérique, cela restant vrai même pour les commandes et différentiateurs d'ordre élevé. De plus le système en boucle fermée peut devenir instable à cause de la discrétisation explicite. Récemment, des travaux ont démontré et validé expérimentalement, que la discrétisation implicite permet de supprimer ce broutement numérique, de garantir la stabilité globale, et permet aussi de choisir des périodes d'échantillonnage beaucoup plus basses sans détériorer notablement les performances. Dans ce projet nous allons donc nous atteler à analyser et tester la discrétisation implicite des commandes homogènes d'ordre élevé et des différentiateurs exacts. En premier lieu, l'analyse consistera à étudier la faisabilité du système discrétisé (comme l'existence et l'unicité de la commande pour l'implémentation), les propriétés de stabilité (Lyapunov) et de convergence en temps fini, la robustesse (c'est à dire, déterminer quelles classes de perturbations sont admises). Nous pensons également étudier le principe de séparation, à savoir, peut-on utiliser les différentiateurs exacts dans la boucle de commande, en garantissant que les propriétés sus-mentionnées sont préservées après la discrétisation ? En effet l'un des problèmes majeurs de la commande par modes glissants, est, en plus du broutement, que l'on a besoin de l'état complet du système pour définir la variable (et donc la surface) de glissement. Le retour de sortie est en général effectué en utilisant des filtres passe-bas pour approximer les dérivées. Nous espèrons que des différentiateurs exacts discrétisés correctement, pourraient améliorer notablement les performances, ainsi que le processus de réglage qui peut se révéler fastidieux avec les constates de temps et les gains des filtres passe-bas. Le second objectif de ce projet consiste en un volet expérimental. Fort des sites expérimentaux mis à disposition par deux des partenaires (systèmes électro-pneumatique, électro-mécanique, objet volant, pendules inversés, robot bipède et main articulée), toutes les commandes et tous les différentiateurs seront testés et évalués. Ces expériences sont d'un grand intérêt, car chacune possède une dynamique nominale propre ainsi que des perturbations de natures différentes.