Géométrie Lipschitz des singularités – LISA

Ce projet concerne le domaine très actif de la géométrie Lipschitz des singularités. Il prend sa source dans le problème naturel suivant. On sait depuis les travaux de Whitney qu’une variété algébrique réelle ou complexe est localement conique. Cependant, elle n’est en général pas métriquement conique : le diamètre de certaines parties topologiquement non triviales de son link diminue plus vite que linéairement lorsqu’on s’approche du point spécial. Un problème naturel est alors de construire des classifications locales à équivalence bilipschitz près, et ce que nous appelons géométrie Lipschitz d’un germe d’espace singulier, c’est sa classe d’équivalence dans cette catégorie. Ce problème comporte différentes approches suivant la métrique que l’on considère sur le germe. Un germe d’espace analytique (V,p) possède en fait deux métriques naturelles induites par un plongement dans R^N muni d’une métrique euclidienne standard : la métrique externe est définie par la restriction de la métrique euclidienne, tandis que la métrique interne est définie par l’infimum des longueurs des chemins sur V.
La géométrie Lipschitz des singularités est un domaine en plein développement qui a commencé en 1969 avec le travail de Pham et Teissier sur la classification des germes des courbes algébriques planes. Notre projet est motivé par plusieurs résultats importants obtenus depuis 10 ans par Birbrair, Fernandes, Gabrielov, Gaffney, Grandjean, Lê, Neumann, Parusinski, Paunescu, Pichon, Ruas, Sampaio et d’autres. Par exemple, la surprenante découverte par Birbrair et Fernandes du fait que les singularités d’espaces complexes de dimension supérieure à 2 ne sont en général pas métriquement coniques pour la métrique interne. Ceci a initié une série de travaux qui ont conduit à la classification Lipschitz complète des singularités de surfaces normales pour la métrique interne par Birbrair, Neumann et Pichon (coordinateur du projet) et à des progrès majeurs dans l’étude de la métrique externe. Un autre résultat important est la preuve par Parusinski (membre de notre équipe) et Paunescu de la conjecture de fibration de Whitney dans le cadre analytique, basée sur une relation entre l’équisingularité au sens de Zariski et l’équisingularité analytique par arcs, qui est de nature similaire à l’équisingularité Lipschitz.
Notre projet a deux objectifs principaux : (1) Construire des classifications de la géométrie Lipschitz dans des cadres plus généraux comme les germes réel ou complexes de dimension supérieures, à singularités non isolées, les germes de fonctions, etc., (2) Relier la géométrie Lipschitz à trois autres aspects des singularités :
- l’équisingularité;
- la topologie plongée;
- l’espace des arcs et la théorie de la résolution.
Ces 3 domaines sont classiques en théorie des singularités mais leurs liens avec la géométrie Lipschitz restent quasiment inexplorés. Cependant, des résultats ont déjà été obtenus pour chacun d’eux. Par exemple, la question de savoir si l’équisingularité au sens de Zariski s’interprête en termes de géométrie Lipschitz a été résolue positivement en 2014 pour les surfaces complexes mais reste ouverte en dimensions supérieures. Un autre exemple : il est maintenant établi que la géométrie Lipschitz d’une singulartié de surface normale détermine sa multiplicité. Ce résultat donne une approche Lipschitz à la célèbre question de Zariski sur la multiplicité qui nécessite d’être exploré en dimensions supérieures et souligne également la nécessité d’étudier les relations entre géométrie Lipschitz et topologie plongée d’une hypersurface. Dernier exemple : des travaux récents montrent les rôles clés joué par les coins d’arcs et la résolution dans les classifications Lipschitz dans le cadre complexe.
Au vu de ces résultats, nous sommes convainvus que la géométrie Lipschitz donnera un éclairage nouveau à ces trois domaines et contribuera à la résolution de problèmes ouverts importants qui ne sont pas a priori de nature métrique.