Géométrie spectrale de systèmes quantiques intermédiaires – SpInQS

Le but principal de cette proposition est de developper et appliquer des méthodes en théorie de nombres pour étudier la géométrie de fonctions propres et des propriétés spectrales des systèmes quantiques en état de transition. Ce projet sera d'une duree de 4 ans et il y aura 2 taches: prouver la delocalisation de plusieurs types des opérateurs de Schroedinger aléatoires; et étudier la structure des fonctions propres des billards pseudo-integrables. La premiere tache sera d'étudier le problème important de la transition d'Anderson pour des opérateurs de Schroedinger avec des potentiels aléatoires -- de modèles populaires dans l'etude des systèmes désordonnés.

La théorie spectrale des tels opérateurs est très active et un domaine de recherche très a la mode en analyse. Le but principal de cette tache sera d'obtenir une preuve de la transition d'Anderson pour des opérateurs de Schroedinger avec des masses de Dirac in dimension d=3 pour une grande classe des processus stochastiques.

Des autres buts sont la generalisation de results pour le problème general pour des potentiels lisses au support compact dans un certain échelle des energies, de comprendre le cas critique de dimension d=2 et de construire des fonctions propres delocalises.

La deuxième tache du projet portera sur la géométrie des fonctions propres des billard pseudo-integrables. Ce sont des billiards quantiques dont la dynamique classique est proche d'être integrable, qui possèdent quand-même des propriétés chaotiques au niveau quantique, par exemples des fonctions propres ergodiques et la repulsions entres les valeurs propres au niveau de l'espacement moyen. Un tel exemple sont des billard polygonaux rationnels.

Le premier but de cette tache est d'arriver a une conclusion par rapport a la validité du modele des ondes aléatoires de Michael Berry pour des billards arithmétiques de Seba (un tore carre avec une masse de Dirac). Cette partie de la tache est designee comme un project pour un postdoctorant qui sera recrute pour une période de 24 mois. Le deuxième but sera d'obtenir une preuve de l'existence des super-cicatrices -- fonctions propres localises a haute énergie -- dans des billards quantiques polygonaux rationnels en faisant un lien avec la dynamique des surfaces plats avec des singularités coniques -- un sujet très a la mode dans la théorie de systèmes dynamiques.

Dans le contexte de ce projet je vais aussi organiser une école d'été qui aura lieu a CIRM, Luminy. Cette école portera sur des problèmes dans le domaine de chaos quantique qui se trouvent a l'interface de la recherche la plus récente en théorie spectrale, théorie de nombres et systèmes dynamiques. En particulier, je voudrais inviter les mathématiciens les plus connus dans ce domaine en France et a l'étranger. Le but sera de soutenir la participation des jeunes doctorants et postdoctorant de toute la France pour les faire connaitre ce domaine de recherche, de disséminer les résultats les plus recents du domaine et d'encourager la nouvelle generation de mathématiciens a commencer leurs propres travaux sur les problèmes les plus important en chaos quantique.