Approche géométrique pour les écoulements en milieux poreux: théorie et numérique – GEOPOR

Le projet Geopor a pour but de rassembler des chercheurs expérimentés et prometteurs issus de différents champs des mathématiques pour étudier les équations gouvernant les écoulements multiphasiques en milieux poreux. En effet, le projet a été pensé comme un lien transversal entre la communauté spécialisée dans l'analyse de équations aux dérivées partielles (EDPs) par approche géométrique grâce au transport optimal, et celle spécialisée dans l'analyse numérique des EDPs. Il est structuré autour d'un centre d'intérêt commun, les écoulements multiphasiques et leur grand champ d'application (e.g., ingénierie pétrolière, séquestration du CO2, gestion de sites d'enfouissements de déchets nucléaires, hydrogéologie). Il a pour objectif d'utiliser des outils originaux afin de produire des résultats nouveaux, aussi bien du point de vue de l'analyse théorique des modèles que de celui de l'analyse numérique.

Dernièrement, des résultats prometteurs ont été obtenus indépendamment dans le domaine du transport optimal, dans l'élaboration et l'étude de méthodes numériques avancées, et dans le développement de stratégies adaptatives pour la résolution numérique des EDPs basées sur l'analyse a posteriori. Nous tirerons profit de tous ces développements, et appliquerons ces nouveaux outils à l'étude théorique et numérique d'équations et de systèmes paraboliques dégénérés symptomatiques des modèles de transport en milieux poreux.

Nous affirmons que l'approche par flot de gradient est pertinente pour étudier les écoulements multiphasiques en milieux poreux. En effet, la façon physiquement correcte d'écrire les équations les gouvernant mène à l'étude d'équations paraboliques, dégénérées pour tenir compte de la disparition possible d'une phase, dont la traduction en flot de gradient est complètement naturelle, tandis que la dégénérescence limite fortement l'utilisation des méthodes variationnelles classiques. Le point fort de cette écriture est que seules des quantités physiquement interprétables apparaissent, contrairement aux approches mathématiques classiques, beaucoup plus basées sur des astuces de calcul purement techniques quoique très esthétiques, et donc rarement reproductibles lorsque le modèle évolue.

En prenant soin de toujours rester pertinents physiquement, nous proposons de construire ce que nous appelons des méthodes non-linéaires pour approcher les solutions de tels équations et systèmes (potentiellement) dégénérés. Les méthodes auxquelles nous pensons sont très largement répandues dans l'ingénierie pétrolière, bien que très partiellement étudiées : elles sont robustes et permettent des enrichissements de la physique sous-jacente. Nous basant sur les nombreux outils développés dernièrement, nous construirons des schémas robustes dont la convergence sera prouvée.

En gardant à l'esprit les applications pratiques, nous étendrons les travaux récents sur l'analyse a posteriori aux nouvelles méthodes que nous proposerons. Nous souhaitons garantir des bornes explicites sur les erreurs liées à l'approximation numérique. De plus, nous appuyant sur des stratégies d'adaptation de maillage et de pas de temps ainsi que sur des critères d'arrêt adaptatifs pour les solveurs linéaires et non-linéaires, nous espérons proposer des algorithmes permettant des économies significatives en temps de calcul sans perte de précision. Ceci permettra aux méthodes numériques que nous proposerons d'être compétitives dans le contexte industriel.

Enfin, ce projet, après avoir créé de nouvelles interactions entre différentes communautés mathématiques, en France et à l'étranger, les consolidera grâce à l'organisation de plusieurs journées thématiques et d'une conférence internationale, ainsi que par l'implication et la formation de jeunes chercheurs français et étrangers.