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Défi des autres savoirs (DS10) 2016
Projet SINGULAR

Equations aux dérivées partielles singulières

Ce projet s'inscrit dans le champ florissant de l'étude des équations aux dérivées partielles stochastiques singulières, qui a été révolutionné il y a deux/trois ans de cela par l'introduction conjointe par Hairer et Gubinelli-Imkelle-Perkowski de méthodes entièrement nouvelles. Ces travaux ont ouvert un véritable champ d'étude, et offrent la possibilité d'explorer certains problèmes qui étaient jusqu'à présent hors de portée. Notre projet se propose d'approfondir l'étude des fondations de ces deux théories et s'attaquer à un certains nombre de problèmes quantitatifs sur certaines équations singulières.

1. Développer la théorie. La théorie des structures de régularité offre un cadre très clair dans lequel étudier une certaine classe d'équations aux dérivées partielles paraboliques stochastiques, dites sous-critiques. L'ingrédient probabiliste a surtout été utilisé jusqu'à présent pour permettre la formulation du problème dans le cadre des structures de régularité, en enrichissant le bruit dans l'équation sous la forme d'un modèle aléatoire -- un des ingrédients cruciaux de la théorie. Selon toute probabilité, les simplifications/cancellations stochastiques inhérentes au cadre probabiliste joueront un rôle fondamental dans l'analyse d'une certain nombre de problèmes autres que celui du caractère localement bien posé de l'équation. Ce sera par exemple le cas de l'étude de l'exigence en temps long de solutions de certaines classes d'équations, et l'usage du calcule de Malliavin pour l'étude de l'existence et de la régularité de densités pour les solutions de certaines équations.

Du côté du calcul paracontrôlé, la théorie a été écrite originellement comme une théorie reposant sur des développements de Taylor d'ordre 1. En dépit de ses succès pour retrouver un certain nombre de résultats obtenus différemment dans le cadre des structures de régularité, cette formulation de la théorie empêche son usage systématique a priori sur un certain nombre de problème, et cache surtout l'un des ingrédients essentiels apporté par Hairer, sous la forme du groupe de renormalisation. Nous avons l'objectif de développer un calcul paracontrôlé d'ordre supérieur et d'introduire dans ce cadre un analogue du groupe de renormalisation.

2. Etude quantitative de certains EDPs stochastiques singulières. Les outils puissants des structures de régularité et du calcul paracontrôlé ont essentiellement été utilisé jusqu'à présent pour montrer l'existence, l'unicité et la régularité par rapport au 'bruit' de solutions de certaines classes d'équations. Nous pensons qu'il est temps d'explorer le potentiel de ces techniques dans l'étude qualitative des solutions d'un certain nombre d'équations singulières, comme l'intermittence pour l'équation parabolique d'Anderson, la localisation pour le hamiltonien d'Anderson, l'étude de l'équation KPZ en dimension d'espace plus grande que 1, ou l'équation de Yang-Mills stochastique préscrite par le schéma de Parisi-Wu de quantification euclidienne des champs de jauge. Nous nous intéresserons aussi dans le même temps à l'étude d'un certain nombre d'équations qui requièrent des méthodes totalement différentes, comme les équations paraboliques totalement non linéaires.

Partenaires

IRMAR - UR1 Institut de Recherche Mathematique de Rennes

Aide de l'ANR 112 752 euros
Début et durée du projet scientifique janvier 2017 - 48 mois

 

Programme ANR : Défi des autres savoirs (DS10) 2016

Référence projet : ANR-16-CE40-0020

Coordinateur du projet :
Monsieur Ismaël BAILLEUL (Institut de Recherche Mathematique de Rennes)

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.