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Défi des autres savoirs (DS10) 2016
Projet GeRepMod

Méthodes géométriques en théorie des représentations modulaires des groupes réductifs finis

Le but de ce projet est d'étudier les représentations modulaires des groupes réductifs finis (en caractéristique transverse) à l'aide des méthodes géométriques qui ont déjà fait leurs preuves dans l'étude des représentations ordinaires (en caractéristique zéro). La théorie géométrique des représentations est un domaine très actif au sein des mathématiques. En témoignent les résultats spectaculaires obtenus au cours des trente dernières années en théorie des représentations de divers objets issus de la théorie de Lie. Plus récemment, une attention toute particulière a été portée sur les représentations à coefficients dans un corps de caractéristique positive, mais peu de progrès ont été réalisés pour les groupes réductifs finis, et de nombreuses questions posées dans les années 90 restent aujourd'hui encore ouvertes. Ce projet a pour ambition d'adapter et d'exploiter pleinement ces méthodes géométriques au cadre modulaire, là où les méthodes algébriques semblent avoir atteint leurs limites.

Notre étude est centrée sur trois problèmes principaux, reliés chacun à un aspect différent de la théorie des représentations des groupes finis : classification, propriétés numériques et homologiques des représentations modulaires. Plus précisément, nous concentrerons nos efforts sur les trois tâches suivantes :
1 - Étude des matrices de décomposition et calculs explicites de nombres de décomposition
2 - Classification des représentations via leur support cuspidal et supercuspidal
3 - Construction d'équivalences dérivées perverses prédites par la conjecture du défaut abélien de Broué.

Le travail fondateur de Bonnafé-Rouquier a ouvert la voie à l'utilisation des méthodes géométriques pour aborder ces problèmes. En outre, les résultats récents des membres de ce projet apportent de premiers éléments permettant de faire sauter les verrous scientifiques et de surmonter certains obstacles techniques. Des progrès concrets ont déjà été réalisés (calculs explicites de nombres de décomposition, cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig), et de nouveaux objets ont été introduits dans cette optique (les faisceaux de parité, qui se comportent en un certain sens comme des complexes de cohomologie d'intersection). Ces résultats seront au coeur de nombreuses questions de ce projet.

Le présent projet rassemble six jeunes chercheurs ainsi que deux séniors issus de la théorie des représentations modulaires des groupes finis et p-adiques, de la théorie géométrique des représentations et de la théorie des représentations des algèbres de Hecke. Nous souhaitons nous rencontrer régulièrement pour profiter de l'expertise de chacun, de partager nos avancées, et mettre nos efforts en commun pour nous attaquer aux aspects les plus difficiles du projet. En outre, nous comptons inviter des mathématiciens étrangers de premier plan pour poursuivre ou initier des collaborations fructueuses autour de ces questions. Nous espérons ainsi donner un nouvel élan à la théorie des représentations modulaires des groupes réductifs finis en France et en Europe, tout en gardant à l'esprit que certains résultats et enjeux sortiront certainement de ce cadre prédéfini.

Partenaires

IMJ-PRG Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

Aide de l'ANR 84 989 euros
Début et durée du projet scientifique octobre 2016 - 48 mois

 

Programme ANR : Défi des autres savoirs (DS10) 2016

Référence projet : ANR-16-CE40-0010

Coordinateur du projet :
Monsieur Olivier Dudas (Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche)

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.