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Blanc International II - SIMI 1 - Mathématiques & Interactions (Blanc Inter II - SIMI 1) 2012
Projet FAN

Fractals et Numération

En Autriche comme en France, la recherche sur les fractals et plus particulièrement sur les ensembles fractals associés à
des systèmes de numération a une longue tradition. Le projet a pour but de mettre à contribution le savoir-faire existant
dans les deux pays et de réunir les idées émanant des différents points de vue sur les fractals et la numération.
Développé en synergie, notre projet a des objectifs bien plus larges que s'il s'effectuait au niveau national. Nous
considérons donc cette synergie comme un facteur important et un véritable enrichissement de notre projet.

Le projet est consacré aux ensembles fractals issus de systèmes de numération. Il se divise en quatre tâches qui abordent notre sujet sous des angles différents.
*) Arithmétique, systèmes dynamiques et
expansions (ADE)
*) Propriétés topologiques de fractals (ToF)
*) Fractals de Rauzy et Substitutions
(RaSub)
*) Fractals et applications (FracApp)

La première tâche (ADE) est consacrée aux propriétés arithmétiques des
systèmes de numération. Les thèmes sont variés : propriétés de transcendance comme dans le théorème de van der
Poorten-Loxton, récemment démontré par Adamczewski et Bugeaud, deux membres de l'équipe française, extensions
naturelles d'algorithmes de fractions continues, numération dans les corps de nombres algébriques, systèmes de
numération redondants et leurs applications en cryptographie. Il apparaît que tous ces problèmes, où interviennent des
systèmes de numération généralisés, ont des liens avec les propriétés topologiques et géométriques d'ensembles
fractals.
C'est pourquoi la deuxième tâche (ToF) est centrée sur les propriétés topologiques des fractals. Il existe de
nombreux travaux consacrés à l'étude topologique des ensembles fractals, mais la plupart des résultats ne sont valables
qu'en dimension 2. En collaboration étroite avec le groupe de topologues de Jim Cannon et Greg Conner de l'université
de Brigham Young aux Etats-Unis, nous souhaitons obtenir de nouveaux résultats sur la topologie de fractals auto-affines
en dimensions supérieures. Nous utiliserons ces résultats pour résoudre certains problèmes d'arithmétique dans les
systèmes de numération survenant dans la tâche ADE.
Alors que les deux premières tâches sont relatives à la
numération d'un point de vue très général, la troisième (RaSub) est dédiée aux fractals de Rauzy et aux systèmes dynamiques substitutifs de type Pisot. En utilisant les résultats des tâches précédentes, nous désirons développer l'étude des fractals de Rauzy,
notamment dans le contexte plus général des développements S-adiques. Par exemple, la considération de ces fractals
nous donnera un regard nouveau sur les algorithmes de fractions continues généralisées. Il nous paraît donc essentiel
d'explorer un maximum de leurs propriétés.
La dernière tâche a de nouveau les fractals pour objet. Nous étudierons de nombreuses propriétés des ensembles fractals, comme leur intersection avec des droites et les homoméomorphismes entre fractals qui jouent un rôle en traitement d'images.
Cette tâche constituera une interface avec d'autres disciplines scientifiques qui utilisent les fractals. En effet, nous
sommes convaincus que les idées et les méthodes de notre projet trouveront de nombreuses applications dans d'autres
disciplines scientifiques. Enfin, nous souhaitons explorer un lien intéressant entre les transformations fractales en
traitement d'images et la théorie des nombres.

Partenaires

LIAFA Laboratoire d'Informatique Algorithmique : Fondements et Applications

 University of Leoben and Graz University of Technology

Aide de l'ANR 199 333 euros
Début et durée du projet scientifique mars 2013 - 36 mois

 

Programme ANR : Blanc International II - SIMI 1 - Mathématiques & Interactions (Blanc Inter II - SIMI 1) 2012

Référence projet : ANR-12-IS01-0002

Coordinateur du projet :
Madame Valérie BERTHE (Laboratoire d'Informatique Algorithmique : Fondements et Applications)
berthe@nullliafa.univ-paris-diderot.fr

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.