Aspects symplectiques, réels et tropicaux de la géométrie énumérative – ENUMGEOM

La géométrie énumérative classique est la branche de la géométrie algébrique s'intéressant au nombre de solutions de problèmes géométriques, comme par exemple le nombre de courbes dans une variété qui intersectent de manière prescrite des sous-variétés données. Ce domaine a été révolutionné par l'introduction d'idées issues de la physique théorique, aboutissant à de profondes connexions de domaines mathématiques variés: géométrie symplectique, géométrie tropicale, théorie des catégories, systèmes intégrables, géométrie algébrique, théorie des représentations.

Ces développements modernes ont été initiés par l'introduction des espaces de modules, dits de Gromov-Kontsevich, des applications pseudoholomorphes stables dans une variété symplectique, ainsi que par la vision de Witten que les nombres d'intersection de ces espaces s'interprétaient comme des fonctions de partition de théories quantiques des champs. Ces idées ont permis la formulation de nombre de conjectures profondes en mathématiques, parmi lesquelles les conjectures de Witten et de la symétrie miroir.

La géométrie énumérative réelle offre un cadre naturel où ces idées se généralisent. Les progrès dans ce domaine ont toujours été plus lents qu'en géométrie complexe, principalement en raison du fait que le nombre de solutions réelles d'un problème dépend en général des paramètres de ce dernier. Une borne inférieure sur le nombre de solutions réelles a été mise en évidence par Welschinger dans l'énumération des courbes rationnelles réelles en petites dimensions. Une théorie en genre quelconque, basée sur les espaces de modules des courbes symétriques, n'a été développée que très récemment par Georgieva et Zinger. Les théories de l'intersection de ces espaces de modules s'interprétent comme fonctions de partition de certaines théories quantiques des champs étendues. Dans cette perspective, toutes les conjectures du cadre complexe ont une version réelle, ouvrant ainsi un large domaine de recherche.

Les preuves de symétrie miroir reposent principalement sur la capacité à calculer les invariants en jeux, ce qui constitue la difficulté majeure dans le cas général. L'idée de Kontsevich d'utiliser les courbes tropicales a introduit une composante combinatoire dans cette problématique. La prédiction de Kontsevich a été confirmée par Mikhalkin, qui a fournit un algorithme combinatoire calculant les invariants de type Gromov-Witten des surfaces toriques. Cette approche a d'importantes répercussions en géométrie réelle. En particulier, le théorème de Mikhalkin permet de calculer certains invariants de Welschinger (analogues en genre 0 des invariants de Gromov-Witten). Ces travaux fondateurs ont ouvert la voie à de nombreuses applications importantes de la géométrie tropicale en géométrie énumérative (réelle), et plusieurs généralisations du théorème de Mikhalkin ont été démontrées depuis.

Une nouvelle direction importante en géométrie énumérative complexe, réelle et tropicale est liée à la conjecture de Göttsche-Shende. Motivés par l'étude des degrés de Severi raffinés introduits par ces derniers, Block et Göttsche ont proposé d'énumérer les courbes tropicales planes avec un poids polynomial. La conjecture de Göttsche-Shende met en lumière une classe particulière de variétés algébriques réelles : celles pour lesquelles la caractéristique d'Euler de la partie réelle coïncide avec la signature de la partie complexe. Il apparaît alors particulièrement important de déterminer quels espaces de modules issus de problèmes énumératifs appartiennent à cette classe.

L'ambition de ce projet est double: développer les domaines susmentionnés, tout en créant et renforçant les interactions entre spécialistes de ces domaines, favorisant ainsi les échanges féconds entre points de vue différents.