Marches aléatoires en interaction – MALIN

Les marches aléatoires interagissantes désignent un ensemble de modèles décrivant des phénomènes de désordre à grande échelle, motivés par des questions en physique statistique, biologie, économie et statistiques. La composante d’interaction de ces modèles produit des effets de mémoire longue, qui ne peuvent être analysés par les outils de probabilités classiques.

Notre projet est de développer des outils génériques, de mieux comprendre ses liens avec d’autres domaines, et de s’attaquer à des questions et applications nouvelles. Nous travaillerons sur les sujets suivants :

• Champ Libre Gaussien (CLG), Marches aléatoires branchantes (MABs), et entrelacs aléatoires
• Marches aléatoires en milieu aléatoire (MAMAs)
• Marches aléatoires en interaction (MALINs)
• Systèmes de particules, feux de forêts et percolation

Ce sont des modèles fondamentaux de probabilités, qui rassemblent de la structure phénoménologique et des difficultés essentielles aux processus stochastiques et à la physique statistique.

Le CLG est profondément lié à la plupart de ces modèles. Il est par exemple intimement lié aux entrelacs aléatoires par le théorème d’isomorphisme. Dans les deux cas la structure percolative est à champ moyen et non locale, donc difficile à étudier. Des progrès importants ont été faits sur le sujet, et plusieurs questions restent ouvertes sur les valeurs critiques.

La MAB, qui décrit un nuage de particules branchantes, a été introduit en physique et génétique des populations ; elle est aussi profondément liée au CLG en dimension 2, et par conséquent à la gravité quantique. Une autre direction très intéressante concerne la MAB avec sélection, sur laquelle nous avons une forte expertise; plusieurs conjectures de physiciens restent ouvertes.

La MAMA est un modèle fondamental en physique statistique, décrivant le mouvement d’une particule dans un milieu fortement désordonné, la chaîne de réplication d’ADN, la croissance de cristaux (Chernov et Temkin) ou le comportement turbulent dans les fluides (Sinai). Des questions essentielles restent ouvertes, en particulier les principes d’invariances, les conditions pour la ballisticité dans le cas non-réversible et celui d’un environnement dynamique. Le projet rassemble des experts mondiaux du sujet.

Les MALINs sont des processus évoluant dans un environnement constamment modifié par leur propre comportement, et sont par exemple auto-répulsifs ou auto-attractifs. Ils décrivent une gamme importante de comportements, et fournissent un bon outil théorique pour les comportements d’apprentissage, en lien avec la théorie des jeux et l’apprentissage statistique. Ce sujet plutôt nouveau a récemment montré des liens profonds à la théorie quantique des champs, la localisation d’Anderson et la classe d’universalité KPZ. Un objectif important est de comprendre la structure de cette famille apparemment très diverse de modèles.

Les marches aléatoires peuvent interagir non seulement avec leur environnement mais aussi entre elles, comme système de particules. Ce qui donne par exemple des modèles pour la croissance aléatoire, les feux de forêts et la criticalité auto- organisée. Nous explorerons les connexions avec les équations de coagulation-fragmentation, qui fournissent souvent des indications très utiles pour expliquer les propriétés du modèle aléatoire.

Enfin, tous ces modèles ont des connexions profondes entre eux, et utilisent souvent les mêmes techniques. Par exemple les techniques de MAMAs, comme le renouvellement et l’environnement vu de la particule, ont des applications fructueuses en MALINs, ou pour l’étude de modèles infectieux. Aussi, la MAB est un outil essentiel pour étudier la MAMA sur les arbres.

Le projet favorisera la collaboration entre les équipes françaises et suisses, déjà proches scientifiquement, stimulera des projets de recherche communs et la co-supervision de thèses et postdocs. Une conférence annuelle sera aussi organisée, en alternance par chaque équipe du projet.