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Défi des autres savoirs (DS10) 2016
Projet DynGeo

Dynamique et structures géométriques

Le rôle des sous-groupes discrets et infinis des groupes de Lie trouve
son origine dans les équations fuchsiennes et dans les groupes
cristallographiques et s'est développé au cours des années par ses
aspects arithmétiques, ergodique, dynamique et géométrique.

L'objectif du projet DynGeo d'une durée de quatre ans est de révéler
des relations nouvelles et singulières entre les faces dynamiques et
géométriques de ces groupes. Cela comprend un examen systématique des
généralisations des groupes fuchsiens, l'étude de la structure avancée
de leur espaces de module à partir du formalisme thermodynamique aussi
bien que les imbrications entre les propriétés géométriques et
analytiques des espaces-temps avec celles à l'infini.

Le projet est organisé selon 5 directions différentes mais
interconnectées que nous détaillons maintenant.

Représentations Anosov: pendant longtemps est restée sans réponse la
question de trouver la classe des groupes discrets qui seraient la
généralisation en rang supérieur des groupes fuchsiens ou convexes
cocompacts. Il est maintenant communément admis que les
représentations Anosov, inventées par Labourie, répondent à cette
question. Les représentations Anosov bénéficient de nombreuses
caractérisations. L'équipe souhaite traiter la question de déterminer
l'équivalent en rang supérieur des groupes géométriquement finis et
aussi d'explorer les propriétés des systèmes dynamiques associés aux
groupes discrets.

Géométrie homogène: depuis les prémices de la géométrie hyperbolique,
les connexions entre la géométrie et les groupes discrets sont
nombreuses. Des illustrations récentes sont la façon dont les
sous-groupes Anosov donnent naissance à des structures géométriques et
la compréhension des 3-variétés lorentziennes. Un des but est de
sonder en profondeur ces connexions. Spécifiquement, les tâches
prévues sont de paramétrer géométriquement certains espaces de
modules de déformations, de comprendre les compactifications des
espaces localement symétriques mais aussi d'étudier les variétés
lorentziennes avec particules, physiquement plus pertinentes.

Spectre des longueurs: tout sous-groupe discret donne lieu à un
spectre des longueurs qui, en général, le détermine entièrement. Dans
l'esprit de la distance asymétrique de Thurston, l'équipe veut
approfondir les comparaisons de spectres de longueurs dans le cadre
des représentations Anosov et plus particulièrement de la composante de
Hitchin, une généralisation de l'espace de Teichmüller due à
Hitchin. L'entropie est le taux de croissance exponentiel du spectre
des longueurs, l'équipe vise de mettre en évidence des résultats de
rigidité de l'entropie ainsi que ses comportements local et global
dans le cadre des "espaces de Teichmüller généralisés".

Métrique de pression: le spectre des longueurs est souvent réalisé
comment les spectre des longueurs des orbites périodiques d'un flot et
ainsi les invariants topologiques et dynamiques de ce flot sont
disponibles. La pression en fait partie et donc il résulte une
métrique de pression définie sur l'espace des modules des
représentations. Les allures locales et globales de cette métrique
ainsi que d'autres quantités numériques (longueurs, nombres
d'intersections, etc.) sont parmi les sujets programmés.

Volume renormalisé: il est parfois possible de définir un "volume
renormalisé" alors que le volume usuel est infini. Cette situation a
été bien étudiée dans le contexte des 3-variétés hyperboliques
convexes cocompacts et est fortement liée à la géométrie de l'espace
de Teichmüller; dans le contexte des groupes quasi-fuchsiens, il est
proportionnel à l'action de Liouville. Les questions en rapport que
l'équipe souhaite inspecter plus en avant sont la géométrie fine des
3-variétés hyperboliques, la possibilité de définir une action de
Liouville pour la composante de Hitchin et aussi de déterminer une
procédure de renormalisation pour les composantes de Hitchin
elles-mêmes.

Partenaires

IMJ-PRG Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

IRMA - Unistra Institut de Recherche Mathématique Avancée - Université de Strasbourg

LPP Laboratoire Paul Painlevé

UL University of Luxembourg

UNS - LJAD Université Nice Sophia Antipolis - Laboratoire J.A.Dieudonné

Aide de l'ANR 263 611 euros
Début et durée du projet scientifique janvier 2017 - 48 mois

 

Programme ANR : Défi des autres savoirs (DS10) 2016

Référence projet : ANR-16-CE40-0025

Coordinateur du projet :
Monsieur Olivier Guichard (Institut de Recherche Mathématique Avancée - Université de Strasbourg)

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.