Interactions entre Systèmes Dynamiques, Equations d'Evolution et Contrôle – ISDEEC

Les équations d'évolution, ou plus généralement les systèmes dynamiques, forment une classe importante de modèles mathématiques et sont utilisées aussi bien en physique qu'en biologie ou en sciences sociales. L'étude des propriétés qualitatives des équations d'évolution occupe une place de choix en mathématiques et donne lieu à des questions cruciales et passionnantes.

Dans ce projet, nous voulons étudier les propriétés dynamiques, non seulement d'équations aux dérivées partielles (EDPs) telles que les équations paraboliques, hamiltoniennes ou hyperboliques, les EDPs dispersives non linéaires ou encore les EDPs définies sur des graphes... mais aussi de certaines classes de systèmes d'équations différentielles ordinaires : équations hamiltoniennes, flot géodésique, réseau de cellules couplées... Cette étude revêt diverses formes, dont :
- la classification des dynamiques globales typiques et la description de leur complexité,
- l'étude de trajectoires particulières (orbites homoclines, fronts, ondes progressives, solutions explosives) et la description de phénomènes de bifurcation,
- le contrôle de la dynamique par une force extérieure ou par une modification de certains paramètres internes,
- la description de la dynamique dans le cas où on ne dispose que de données d'observations partielles (observations sur le bord d'un domaine, pour un nombre fini de temps, sur certaines cellules d'un réseau...).

Un tel programme nécessite des experts de divers domaines mathématiques : systèmes dynamiques, équations aux dérivées partielles, théorie du contrôle, géométrie, analyse fonctionnelle... Dans le même temps, la tendance actuelle en mathématiques est à la spécialisation et l'interaction entre les spécialistes de ces différents domaines n'est pas assez développée et demande à être renforcée (particulièrement en France). Le but principal de ce projet est de créer et de consolider de telles interactions.

Nous voulons non seulement approfondir notre compréhension de la dynamique des équations d'évolution en développant les interactions entre les spécialistes de ces différents domaines, chacun avec ses points de vue, ses problèmes propres, ses outils et ses techniques, mais nous espérons aussi que de nouvelles questions importantes émergeront de l'interaction entre ces domaines.

Les principales thématiques de ce projet comprennent :
Tâche 1 : systèmes dynamiques et EDPs
Tâche 2 : contrôle et dynamique générique
Tâche 3 : dynamique globale et contrôle
Tâche 4 : dynamique hamiltonienne en dimension infinie