Groupes fondamentaux, Théorie de Hodge et Motifs – Hodgefun

HODGEFUN est un projet de mathématiques fondamentales. Il se situe à l'interface de la Topologie et de la Géométrie Algébrique en se proposant s'étudier les relations entre topologie et structure algébrique pour une variété algébrique complexe.

Il se concentre sur 3 sujets d'une brulante actualité: le problème de Serre, les modules de Hodge, et les Motifs ainsi que leurs interactions et applications dans les problèmes fondamentaux de la géométrie algébrique. Les avancées scientifique espérées vont dans la direction du problème de Serre de déterminer les groupes fondamentaux des variétés algébriques lisses, de la classification birationnelle des variétés algébriques, de la conjecture de Hodge et de la conjecture de décomposition motivique.


Le problème de Serre consiste en l'identification parmi les groupes finiment présentables des groupes fondamentaux de variétés algébriques lisses complexes. Il admet plusieurs variantes: le cas projectif, le cas Kählérien et leur variantes orbifold. Malgré des progrès considérables depuis 30 ans, le manque d'exemples connus handicape la recherche.

Les contraintes gouvernant le problème de Serre prennent leur origine dans la théorie de Hodge. Beaucoup d'invariants homotopiques portent en effet des Structures de Hodge Mixtes. La théorie des Modules de Hodge de M. Saito est une théorie des coefficients stables par les 6 opérations de Grothendieck et développée à la fin des années 1980. C'est l'analogue de la théorie des complexes l-adique mixtes issue de la ditillation par Gabber de la solution des conjectures de Weil par Deligne. En tant que telle, il s'agit de la formulation ultime des aspects cohomologiques de la Théorie de Hodge Mixte. Les premières applications portèrent sur la théorie des singularités ou la topologie des compléments d'hypersurface. Une nouvelle vague d'applications s'est récemment dessinnée et impacte la géométrie birationnelle. Elle semble devoir s'amplifier. La difficulté technique redoutable de la théorie en rend l'usage malaisé et beaucoup doit être fait pour populariser ces méthodes.

Enfin, la théorie de Hodge Mixte n'est selon la vision de Grothendieck qu'une incarnation d'une théorie plus profonde des
Motifs. Les structures de Hodge sont juste les plus simples des structures spéciales portées par les invariants
homotopiques des variétés algébriques, les structures de modules galoisiens étant un autre exemple. Un problème
fondamental sur l'interaction Modules de Hodge - Motifs est la conjecture de décomposition motivique qui prédit un
relèvement motivique du théorème de décomposition de Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber.

Notre but est de construire un groupe de recherches réunissant des géométres algébristes venant d'horizons divers,
confirmés et débutants, avec un intérêt commun pour la topologie des variétés algébriques complexes et ses
ramifications. Le problème de Serre, la conjecture de Hodge et la conjecture de décomposition motivique ne seront
probablement pas établis à court terme mais les membres de notre groupe ont des projets réalistes dans ces directions,
souvent en collaboration avec d'autres membres du groupe.

Pour développer une culture commune et développer la formation doctorale, nous proposons d'organiser un workshop
annuel mélangeant les différents sujets ci-dessus. Nous y étudierons les principaux nouveaux résultats et des résultats
plus classiques. Le projet comporte aussi une conférence internationale au CIRM en 2019 et une école d'été à Grenoble
en 2020.

Le projet faciliterait aussi les recherches en collaboration du groupe, celles qui existent déjà et celles qui se
développeront.

La valorisation du projet passera par les publications scientifiques qui en seront issues.