Définissabilité en géométrie non archimédienne – Défigéo

L'utilisation de méthodes issues de la théorie des modèles en géométrie non-archimédienne remonte au moins au travaux d'Ax, Kochen et Ersov sur la conjecture d'Artin dans les années 60. Une autre application spectaculaire a été obtenue par Denef dans les années 80, avec sa preuve de la rationalité des séries de Poincaré comptant des points p-adiques. Plus récemment, ces outils, via le concept de définissabilité, ont joué un rôle central dans le développement de l'intégration motivique ainsi que dans l'étude de la topologie des espaces de Berkovich. Ainsi Cluckers et Loeser ont développé un cadre général pour l'intégration motivique qui leur a permis d'obtenir un principe de transfert pour les intégrales p-adiques qui s'applique en particulier au Lemme Fondamental en théorie de Langlands (travail avec Hales). Ceci a été prolongé récemment par Cluckers, Gordon et Halupczok (borne uniformes d'intégrales, transfert pour l'intégrabilité). Dans un contexte différent, Hrushovski et Loeser ont démontré des propriétés de modération en géométrie de Berkovich (les analytifiés des variétés quasi-projectives sont localement contractiles et se rétractent fortement sur un polyèdre fini). Un point important de leur approche est le caractère pro-définissable de l'espaces des types stablement dominés. Cluckers, Comte et Loeser ont dégagé dans le cadre définissable p-adique un substitut efficace au théorème des accroissements finis qui leur a permis en particulier d'obtenir une version p-adique du théorème de Pila-Wilkie. Enfin dans un travail récent, Hrushovski et Loeser ont utilisé l'intégration motivique de Hrushovski-Kazhdan (basée également sur la notion de définissabilité) ainsi que la géométrie de Berkovich pour étudier la monodromie et la fibre de Milnor.

Pour la commodité de la présentation, nous avons choisi de découper notre projet selon quatre thèmes, illustrant chacun un aspect de la définissabilité que nous détaillons dans la rubrique "programme scientifique et technique":

1) Géométrie des espaces de Berkovich

2) Fibre de Milnor motivique et la conjecture de la monodromie

3) Applications diophantiennes

4) Applications à l'analyse harmonique non-archimédienne et à la théorie des représentations

Notre projet réunit des chercheurs en poste dans cinq universités françaises (universités Pierre-et-Marie-Curie, Paris- Sud, Chambéry, Lille 1, Rennes 1) et chacun rattaché à une UMR CNRS de mathématiques. Si, à l'origine, chacun travaillait dans un sous-domaine bien spécifique (intégration motivique, espaces de Berkovich, singularités, théorie des nombres, motifs,...), leurs travaux ont mis en évidence des relations étroites entre leurs différentes problématiques et la complémentarité de leurs approches. D'ailleurs, les participants de ce projet sont impliqués dans plusieurs des thèmes proposés. Certains des membres du projet ont déjà des publications communes, mais notre objectif est de dépasser ce cap sur la base du présent projet scientifique.

Les principales actions que nous comptons mener avec le soutien de l'ANR concernent le financement de post-doctorants, l'organisation de rencontres de travail entre les membres du projet, l'invitation d'experts extérieurs étrangers, l'organisation de groupes de travail sur des questions liées au projet, l'organisation de deux conférences (l'une à mi-parcours, l'autre au terme du projet).