Structures supérieures en Algèbre et Topologie – SAT

Dans un premier temps, ce projet a pour but d’approfondir la théorie des structures supérieures à l’aide de nouveaux modèles; en particulier les opérades symétriques à homotopie près et les infini-coopérades. Ensuite, il a pour objectif d'appliquer ces nouvelles méthodes pour étudier mathématiquement les théories de champs, comme les E_n-opérades, les algèbres à factorisations, les théories topologiques des champs, les théories cohomologiques des champs, les algèbres vertex et les théories conformes des champs.

* Développement d'une théorie homotopique des opérades symétriques sur un anneau quelconque. Introduction d'un foncteur de remplacement cofibrant, qui appliqué à l'opérade des algèbres commutatives, donne un modèle cofibrant explicit d’opérade E_infini sur tout anneau. [Dehling--Vallette]

* Construction d'un foncteur nerf homotopique de la catégorie des opérades colorées à homotopie près strictement unitaires et la catégorie des infinies-opérades. [Le Grignou]

* Introduction et développement de structures de catégorie supérieure de cobordismes itérés qui doit être utilisée dans ce cadre de l'hypothèse du cobordisme de Baez--Dolan. [Calaque—Scheimbauer]

* Construction de structures symplectiques décalées au niveau des champs dérivés d'applications avec des conditions de bord, qui sont nécessaires dans la plupart des applications en théorie quantique des champs. [Calaque]

* Forme ultime de trivialisation homotopique de l'action du cercle, c'est-à-dire forme optimale du lemme d-dbar de l’homotopie rationnelle. [Dotsenko--Shadrin--Vallette]

* Structure de théorie cohomologique des champs à homotopie près sur la cohomologie de De Rham des variétés de Poisson: nouveaux invariants fidèles du type d'homotopie de l'algèbre de De Rham avec sa structure de Batalin--Vilkovisky. [Dotsenko--Shadrin--Vallette]

* Théorie non-commutative des algèbres de Batalin—Vilkovisky, des théories de champs cohomologiques et des opérades des petits disques à l'aide des variétés toriques associées aux représentations à coordonnées entières de Loday des associaèdres.

Nouveaux développements des fondations de l'algèbre supérieure dans le but de résoudre des problèmes dans l'étude topologique des théories des champs.

D. Calaque, T. Willwacher, Triviality of the higher formality theorem, Proceedings of the AMS 143 (2015), 5181-5193.

D. Calaque, Lagrangian structures on mapping stacks and semi-classical TFTs, in Stacks and Categories in Geometry, Topology, and Algebra, 1-23, Contemp. Math., 643, Amer. Math. Soc., (2015).

D. Calaque, F. Naef, A trace formula for the quantization of coadjoint orbits, Int. Math. Res. Not. IMRN (2015), no. 21, 11236-11252.

C. Cazanave, appendice de l'article de B. Farb et J. Wolfson, Topology and arithmetic of resultants, II: the resultant = 1 hypersurface, (2015), à paraître dans Algebraic Geometry, 4 pages , arXiv: 1507.01283

B. Le Grignou, From homotopy operads to infinity-operads, (décembre 2014), à paraître dans Journal of Noncommutative Geometry, 36 pages, arXiv:1412.4968

C. Dupont, B. Vallette, Brown's moduli spaces of curves and the gravity operad, (2015), à paraître dans Geometry & Topology, 26 pages, arXiv:1509.08840

V. Dotsenko, S. Shadrin, B. Vallette, PreLie deformation theory, Moscow Mathematical Journal, Volume 16, Issue 3 (2016) 505-543.

V. Dotsenko, S. Shadrin, B. Vallette, Givental Action and Trivialisation of Circle Action, Journal de l’École polytechnique – Mathématiques, 2 (2015), 213-246.

V. Dotsenko, S. Shadrin, B. Vallette, De Rham cohomology and homotopy Frobenius manifolds, Journal of the European Mathematical Society, Volume 17, Issue 2 (2015), 535-547.

Ce project est un programme de recherche fondamentale en mathématiques, plus précisément en algèbre et en topologie.

La théorie des catégories a montré qu'elle était un outil algébrique efficace pour formuler et pour organiser les résultats dans de nombreux domaines des mathématiques. De la même manière, la notion d'opérade, qui a émergé de l'étude des espaces de lacets itérés au début des années 70, joue maintenant un rôle structural important dans l'organisation des multiples opérations à plusieurs entrées mais une seule sortie qui agissent sur les divers objets in algèbre, géométrie, topologie et physique mathématique.

A la fin du siècle dernier, il est apparu clairement qu'il fallait introduire des notions algébriques supérieures pour pouvoir coder les structures supérieures apparaissant dans les problèmes mathématiques. Par exemple, la théorie de l'homotopie nous fournit des phénomènes naturels dont la description requiert des applications supérieures, c'est-à-dire une certaine notion de catégorie supérieure. De manière similaire, la notion algébrique d'opérade, déjà utilisée pour décrire les algèbres à homotopie près, s'est montré être une notion trop stricte, par exemple dans le domaine de la théorie de la déformation.

Après une longue période de recherche en algèbre et en topologie, la théorie des structures supérieures a récemment donné naissance à des notions radicalement nouvelles et maniables, comme les infini-catégories, les algèbres à homotopie près et les opérades à homotopie près. Ces dernières ont permis de résoudre des problèmes ouverts comme des théorèmes de formalité (Kontsevich) ou l'hypothèse du cobordisme (Lurie), par exemple.

Dans le but de fournir des définitions mathématiques des objets étudiés en théorie des champs en physique, plusieurs mathématiciens de renom ont introduit les notions de théories topologiques des champs, théories cohomologiques des champs et théories conformes des champs en utilisant les structures catégoriques ou opéradiques sur des objets géométriques : variétés à bord (Atiyah), espaces de modules de courbes avec points marqués (Kontsevich--Manin) et surfacse de Riemann avec trous holomorphes (Segal) respectivement.

Ce projet consiste en des nouveaux développements des fondations de l'algèbre supérieure dans le but de résoudre des problèmes dans l'étude topologique des théories de champs.

Il propose d'abord d'enrichir un cran plus en avant la théorie des structures supérieures avec de nouveaux modèles, comme des bonnes notions d'opérade symétrique à homotopie près et d'infini-coopérades. Ensuite, le but est d'appliquer ces nouvelles méthodes dans l'étude mathématique des théories de champs, comme les En-opérades, les algèbres de factorisation, les théories topologiques des champs, les théories cohomologiques des champs, les algèbres vertex et les théories conformes des champs.

Ce project ANR JCJCJ regroupe une équipe de jeunes chercheurs, incluant des étudiants en thèse. Son but est de créer une nouvelle équipe de recherche transverse en algèbre et en topologie dans le sud de la France, où plusieurs des thèmes susmentionnés, comme les algèbres de factorisation et les théories étendues de champs, ne sont pas encore présentes.