Torseurs, fibrés vectoriels et schéma en groupes fondamental – TOFIGROU

Les méthodes utilisées ne sont pas seulement les techniques classiques bien connues en géométrie arithmétique et en géométrie algébrique en caractéristique positive mais aussi de nouvelles méthodes «ad hoc« pour chaque projet. Nous allons en rappeler quelques-unes parmi les plus importantes : pour étudier la théorie du schéma en groupes fondamental, il est important d'utiliser à la fois la construction tannakienne et la construction soit disant profinie. Une approche tannakienne est en général plus adaptée pour les objets géométriques définis sur des corps tandis que la construction profinie se situe mieux dans le domaine de la géométrie arithmétique, comme par exemple les schémas définis sur des anneaux qui ne sont pas des corps. Un des objectifs de cette section est certainement l'extension des méthodes tannakiens même à ces objets arithmétiques pour lesquelles, jusqu'à présent, ces méthodes n'existent pas (ou alors ils existent sous une forme partielle et non satisfaisante). Afin d'obtenir ce-ci il sera impératif de bien interpreter les résultats de Saavedra - Rivano sur la théorie tannakienne pour des anneaux, pendant de nombreuses années oubliée par la communauté scientifique. Cette nouvelle méthode serait un merveilleux outil pour étudier davantage les problèmes de l'extension et du relèvement des torseurs.

Les principaux résultats obtenus sont les suivants :

1 ) [En collaboration avec Indranil Biswas, TIFR Mumbai] Soit X une variété normale, rationnellement conexe par chaînes sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive, nous prouvons que le plus grand quotient infinitésimal du schéma en groupes fondamental est fini. Ce résultat est optimal. En particulier, le schéma en groupes fondamental (global) d'une variété de Fano normale est fini. Ce résultat généralise un résultat de Chambert-Loir et (indépendamment) Kollar qui ont prouvé que le groupe fondamental étale d'une variété de Fano est fini.

2) [Travail en collaboration avec Michel Emsalem et Carlo Gasbarri]
Soient S un schéma et X un schéma de type fini et fidèlement plat sur S. L'existence d'un S-schéma en groupes classifiant tous les torseurs au dessus de X sous l'action de S-schémas en groupes finis et plats avait été conjecturée par Grothendieck dans son célèbre SGA1. Lorsque S est le spectre d'un corps Madhav Nori a montré l'existence de cet objet dans sa thèse et il l'a appelé le «schéma en groupes fondamental«. Nous nous sommes occupés du cas où S est un schéma de Dedekind: dans ce cas non seulement nous avons pu répondre affermativemet aux attentes de Grothendick mais nous avons aussi trouvé un objet plus «large« qui clssifie tous les torseurs au dessus de X sous l'action de S-schémas en groupes quasi-finis et plats.

Nous comptons d'avoir un(e) étudiant(e) en thèse à partir de l'an prochain avec (si possible) une allocation de l'Université de Nice-Sophia Antipolis. Dans ce cas, l'étudiant(e) travaillera sur des problèmes liés au calcul du schéma en groupes fondamental, ou bien sur un corps ou sur un schéma de Dedekind (ou les deux).

Antei M., Biswas I. On the fundamental group scheme of rational chain connected varieties
IMRN (à paraitre)

Antei M., Emsalem M., Gasbari C., Sur l'existence du schéma en groupes fondamental (soumis)

Ce projet est constitué par deux thèmes en géométrie algébrique: les problèmes de l'extension et du soulèvement de torseurs ainsi que l'étude des fibrés vectoriels vus comme l'outil principal dans la théorie du schéma en groupes fondamental. Nos deux sujets de recherche ont étés inspirés par eux même, néanmoins le but principal du projet est précisément celui de leur interaction: les problèmes, les approches suggérées et les participants ont pour dénominateur commun la géométrie algébrique et arithmétique.

Le sujet de recherche «Torseurs » a comme but l'étude du problème de l'extension et du soulèvement de torseurs. On se donne un schéma X défini sur un anneau de valuation discrète R et on considère sa fibre générique XK sur K (où K est le corps des fractions de R). Soit G un K-schéma en groupes et Y un G-torseur sur XK. Peut-on trouver un R-schéma en groupes G’ fini et plat, modèle de G, et un G’-torseur Y’ sur X modèle du torseur donné Y sur XK? Ce problème a ces racines dans la célèbre théorie de la spécialisation du groupe fondamental de Grothendieck où l'auteur de SGA1 démontre que, après extension éventuelle des scalaires, le problème admet une solution quand R est complet de corps résiduel k algébriquement clos et de caractéristique positive p, quand X est propre et lisse sur R avec fibres geométriquement connexes mais seulement dans le cas où p ne divise pas l'ordre de G. Dans les dernières décennies il y a eu beaucoup de progrès. Symétriquement on considère la fibre spéciale Xs de X sur k=R/m, le corps résiduel de R. Soit H un k-schéma en groupes fini et Y un H-torseur sur Xs. Peut-on trouver un R-schéma en groupes H’ fini et plat, qui soulève H, et un H’-torseur Y’ sur X qui soulève le torseur donné Y sur Xs? Dans cette direction Pop a récemment prouvé la célèbre conjecture de Oort mais il y a certainement encore beaucoup a découvrir. On proposera une nouvelle approche, utilisant la déformation des fibres essentiellement finis, qu'on poussera le plus loin possible.

Pour le sujet de recherche « Fibrés vectoriels et schéma en groupes fondamental » on s'occupera principalement d'étudier les propriétés du schéma en groupes fondamental p(X,x) d'un schéma X sur un corps k pointé en un point k-rationnel x. Conjecturé par Grothendieck et construit par Nori est, quand X est réduit connexe et propre sur k, le k-schéma en groupes naturellement associé à la catégorie tannakienne neutre EF(X) dont les objets son les fibrés essentiellement finis. Alternativement il peut être construit comme la limite projective des schémas en groupes finis agissant sur les torseurs au dessus de X. En particulier quand k est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle il n'est rien d'autre que le groupe fondamental étale p^ét (X,x). Les propriétés du schéma en groupes fondamental sont difficiles à étudier en générale puisque, par exemple, il ne commute pas au changement de base; malgré ses complications il partage quelques propriétés avec le groupe fondamental étale. C'est pourquoi il doit cacher beaucoup d'informations du schéma X même et c'est un objet qui s'insère de manière naturelle dans la philosophie abélienne. Le schéma en groupes fondamental a été généralisé sous diverses aspects (par Gasbarri, Langer, Borne and Vistoli parmi d'autres) et ses propriétés ont étés largement étudiées par Mehta, Subramanian, Biswas, Esnault, Pauly, Antei et plein d'autres mathématiciens encore. En particulier rappelons seulement que Gasbarri a construit p(X,x) dans le cas d'un schéma X sur un schéma de Dedekind S pointe en un point x dans X(S). Ça montre clairement comment une connaissance approfondie des propriétés du schéma en groupes fondamental fournisse un outil indispensable pour aborder le problème principal décrit dans la section du sujet de recherche «Torseurs » et, bien sûr, vice-versa.

Le projet est coordonné par Marco Antei.