Vlasov-Poisson en Six Dimensions – VLASIX

Les méthodes numériques que nous développons peuvent être classées en quatre catégories:

- Des méthodes purement Eulériennes sur grille, c’est-à-dire calculant l’évolution de la fonction de distribution en des points fixes de l’espace des phases. Notre approche combine des schémas suivant le sens du flot (« upwind ») et un raffinement adaptatif de maille.

- Des méthodes dites semi-Lagrangiennes. La fonction de distribution est toujours représentée sur une grille, mais des particules virtuelles suivant le mouvement du flot sont utilisées pour l’actualiser en appliquant le théorème de Liouville. Nos approches s’appuient sur une interpolation standard de splines ou une décomposition Galerkin discontinue avec la possibilité de raffinement adaptatif de maille pour calculer la fonction de distribution dans l’espace des phases.

- Des méthodes purement Lagrangiennes, c’est-à-dire suivant le flot dans l’espace des phases, s'appuyant sur la description dynamique des contours (« waterbags ») et une tessellation adaptative de ces derniers.

- Des méthodes hybrides, qui combinent par exemple des waterbags avec des schémas semi-Lagrangiens.

En plus de développer des codes, nous étudions les propriétés mathématiques et la convergence de différents schémas numériques, nous comparons les solveurs directs à la méthode N-corps traditionnelle et nous appliquons nos codes à des problèmes spécifiques pour lesquels des théories analytiques peuvent être testées. L'un des objectifs du projet est par exemple de confirmer et de comprendre les propriétés universelles des halos de matière noire.

La pierre angulaire du projet VLASIX est le code massivement parallèle public ColDICE, dont l’objet est de résoudre les équations de Vlasov-Poisson dans le cas cosmologique froid. ColDICE échantillonne la nappe de matière dans l'espace des phases avec une tessellation simpliciale (des tétrahèdres) adaptative suivant le flot. Outre ColDICE, les autres produits du projet VLASIX sont nombreux, tant du point de vue numérique que du point de vue théorique, et nous en listons les principaux ici.

Codes et méthodes:

- Un prototype de code à raffinement adaptatif de maille 6D utilisant un schéma de convection d'ordre élevé.
- VlaSolve: un code public semi-Lagrangien en symétrie sphérique.
- Vlamet: un nouveau schéma semi-Lagrangien utilisant des éléments de métrique pour réduire les effets de diffusion.
- GalWa: un solveur semi-Lagrangien 2D public de type Galerkin-discontinu avec raffinement adaptatif de maille par multi-ondelettes.
- Vlapoly: un solveur de Vlasov-Poisson 2D utilisant la méthode du waterbag.
- Participation au développement de codes parallèles semi-Lagrangiens avec schéma Galerkin-discontinu pour des modèles réduits de type waterbag (waterbag gyrocinétique, waterbag-{Poisson, Maxwell, quasineutre}).

Théorie et analyse:

- Comparaisons Vlasov versus N-corps.
- Analyse mathématique de modèles cinétiques (e.g. Vlasov-Dirac-Benney, Vlasov-Maxwell relativiste), de modèles gyrocinétiques réduits (waterbag-gyrocinétiques) et de modèles fluides (Euler incompressible, magnetohydrodynamique).
- Approximation et simulations numériques de modèles waterbag-gyrocinétiques pour l'étude des instabilités ITG et de la turbulence induite dans les plasmas de fusion.
- Théorie des perturbations pour la dynamique pre- et post-déferlement des équations de Vlasov-Poisson en cosmologie, pour les équations d'Euler incompressible dans un domaine borné tridimensionnel et les modèles waterbag-gyrocinétiques.

Vlasov-Poisson dans le cas froid (matière noire):

La méthode de tessellation adaptative utilisée dans ColDICE implique une augmentation au cours du temps du nombre d'éléments d'échantillonnage ce qui rend ce code trop coûteux pour suivre l'évolution de la matière noire sur un grand nombre de temps dynamiques. Une amélioration du code pour le rendre exploitable dans le cas général consiste à remplacer les simplex par des particules quand la représentation fluide n'est plus nécessaire, ce qui est le cas une fois que le système a suffisamment relaxé.

Vlasov dans le cas chaud:

Nous pourrions combiner nos schémas Galerkin-discontinu semi-Lagrangiens adaptatifs avec l'approche métrique pour en réduire encore plus la diffusion et étendre ces schémas au cas de Vlasov-Poisson 4D et 6D, ainsi qu'à d'autres modèles de type Vlasov, comme les modèles de Vlasov-gyrocinétique et Vlasov-Maxwell (relativiste ou non relativiste).

Méthodes semi-Lagrangiennes appliquées aux équations Euler:

Nous pourrions étendre les techniques Cauchy-Lagrange au cas des équations d'Euler incompressibles sur une variété Riemanniene de dimension quelconque (espaces courbes) ainsi qu'aux modèles de la magnétohydrodynamique dans un espace plat ou courbe. Ces techniques nous permettraient d‘étudier la régularité du flot Lagrangien associé à ces équations et concevoir des méthodes semi-Lagrangiennes en avant d'ordre élevé pour les résoudre numériquement.

Publications du projet VLASIX:

[1] Alard C., 2014, ApJ 788, 171
[2] Bardos C., Besse N., 2013, Kin. and Relat. Models 6, 893
[3] Bardos C., Besse N., 2016, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. 11, 43
[4] Besse N., 2016, Commun. Math. Sci. 14, 593.
[5] Besse N., Coulette D., 2016, J. Math. Phys. 57, 081518
[6] Besse N., 2017, IMA J. Numer. Anal. 37, 985
[7] Besse N., Frisch U., 2017, J. Fluid. Mech. 825, 412
[8] Besse N., Frisch U., 2017, Commun. Math. Phys. 351, 689
[9] Besse N., Deriaz E., Madaule E., 2017, J. Comput. Phys 332, 376 (GalWa)
[10] Colombi S., Touma J., 2014, MNRAS 441, 2414 (Vlapoly)
[11] Colombi S., 2015, MNRAS 446, 2902
[12] Colombi S., Sousbie T., Peirani S., Plum G., Suto Y., 2015, MNRAS 450, 3724 (VlaSolve)
[13] Colombi S., Alard C., 2017, Journal of Plasma Physics 83, 705830302 (Vlamet)
[14] Coulette D., Besse N., 2017, J. Plasma Phys. 83, 905830207
[15] Deriaz E., Peirani S., 2018, accepted in Multiscale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal (prototype de code 6D)
[16] Sousbie T., Colombi S., 2016, Journal of Computational Physics 321, 644 (ColDICE)
[17] Taruya A., Colombi S., 2017, MNRAS 470, 4858

Articles soumis:
- Hallé A., Colombi S., Peirani S., eprint arXiv:1701.01384
- On regularity of weak solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system, Besse N., Bechouche P.

Dans notre vision actuelle de la formation des structures cosmiques, les objets lumineux se forment dans les puits de potentiel de halos de matière noire, dont la dynamique est régie par les équations de Vlasov-Poisson. La connaissance de la structure fine des halos de matière noire est donc essentielle pour interpréter les résultats d'expériences observationnelles en astrophysique, qui incluent entre autres la mesure des courbes de rotation des galaxies spirales, les effets de lentille gravitationelle forts et faibles, les propriétés des amas de galaxies et la détection directe/indirecte de la matière noire elle-même, Usuellement, la dynamique de la matière noire est modélisée numériquement par une approche N-corps, qui n'est pas libre de défauts à cause de l'échantillonnage de la fonction de distribution dans l'espace des phases par un ensemble discret de particules.

L'objectif principal de cette demande est, au lieu de se baser sur une approche orientée particules, de développer et d'utiliser un nouveau solveur semi-­-Lagrangien direct pour étudier la formation et l'évolution de halos de matière noire et de comparer les résultats à des simulations à N-­corps. Un des objectifs de ce projet est de confirmer les profils universels des halos de matière noire mesurés avec les simulations N-­corps et de les comprendre.

Nous procèderons en deux étapes: dans un premier temps, nous nous restreindrons à la géométrie sphérique. Dans ce cadre, qui réduit l'espace des phases à 3 dimensions, nous serons à même de tester divers schémas semi-­-Lagrangiens pour se préparer au défi 6D proprement dit. Avec le code sphérique, nous conduirons deux projets spécifiques: nous tenterons de comprendre comment un état quasi-­-stationnaire se construit en fonction des conditions initiales et nous étudierons les effets de relaxation à N corps et de lissage de la force sur la dynamique. Dans un deuxième temps, nous déveloperons un code 6D semi-­-Lagrangien massivement parallèle. Nous comparerons les résultats obtenus avec ce code à des simulations à N corps, tant aux grandes échelles, en accordant une attention toute particulière à la fonction de masse des halos et au spectre de puissance des fluctuations de densité,  qu'aux petites échelles, en se concentrant sur la structure fine interne des halos de matière noire.