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JCJC - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (JCJC SIMI 1)
Edition 2013


cospin


Invariants spectraux de contact

Invariants spectraux et rigidité globale en topologie de contact
Généraliser à la topologie de contact la théorie des invariants spectraux symplectiques, avec pour but d'explorer les phénomènes de rigidité globale des transformations de contact et des sous-variétés legendriennes.

Phénomènes de rigidité globale
En 1985, Gromov a découvert qu'on ne peut tasser, via plongement symplectique, une boule de l'espace euclidien dans un cylindre de rayon plus petit. Ce résultat a montré pour la première fois l'existence de contraintes plus fortes que la simple préservation du volume satisfaites par les transformations symplectiques, et est souvent vu comme le point de départ de la topologie symplectique moderne. L'étude d'autres phénomènes de rigidité globale, mis en évidence par l'existence de la métrique de Hofer et la conjecture d'Arnold pour les points fixes des difféomorphismes hamiltoniens, ont profondément marqué le développement du sujet. La topologie de contact est l'analogue en dimension impaire de la topologie symplectique, mais ce n'est que récemment que des phénomènes de rigidité similaires ont été exhibés. En 2006, Eliashberg, Kim et Polterovich ont découvert un théorème de non-tassement en topologie de contact, résultat profondément lié à la notion d'ordonnabilité (introduite précédemment par Eliashberg et Polterovich), l'existence de métriques bi-invariantes sur le groupe des contactomorphismes (découverte en 2009 par Sandon) et un analogue de contact (proposé en 2011 par Sandon) de la conjecture d'Arnold. Ces phénomènes ressemblent à leurs analogues symplectiques mais présentent aussi des spécificités qui les rendent particulièrement intéressants et encore mystérieux. Le premier but de notre projet est d'étendre au cas de contact certaines des techniques qui ont été utilisées pour étudier les phénomènes de rigidité symplectique (en particulier, les invariants spectraux) pour mieux comprendre la rigidité dans le cas de contact. Le deuxième but est de trouver de nouvelles interactions entre rigidité des contactomorphismes et rigidité des legendriennes, en particulier en relation avec des problèmes liés à leur classification et à l'existence entre eux de cobordismes lagrangiens (ce qui est aussi une direction de recherche récente est encore largement inexplorée).

Fonctions génératrices, courbes holomorphes et interactions
La conjecture d'Arnold a amené à la découverte de certaines des techniques les plus puissantes en topologie symplectique, telles les fonctions génératrices et l'homologie de Floer. La méthode des fonctions génératrices (basée sur la théorie de Morse classique) est relativement simple mais ne s'applique qu'à une classe restreinte de variétés. En revanche, l'homologie de Floer est une théorie de Morse sophistiquée en dimension infinie qui utilise des méthodes de courbes holomorphes introduites par Gromov. Techniquement cette théorie est plus difficile, mais fournit un cadre qui s'applique dans une grande généralité. Les deux théories ont été utilisées pour définir des «invariants spectraux« associés aux difféomorphismes hamiltoniens, un outil fondamental pour l'étude (en particulier) des problèmes de non-tassement, de la métrique de Hofer et de la dynamique hamiltonienne. La construction des invariants spectraux basée sur les fonctions génératrices (et introduite par Viterbo) a été généralisée au cas de contact par Sandon en 2009 et utilisée pour redémontrer le théorème de non-tassement de contact. Cette nouvelle preuve a inspiré la construction d'une métrique bi-invariante sur le groupe des contactomorphismes et la découverte de la notion de points translatés, qui a permis de formuler un analogue de contact de la conjecture d'Arnold. En plus de continuer à développer la théorie des fonctions génératrices et ses applications aux phénomènes de rigidité, nous voulons construire des invariants spectraux de contact en utilisant les courbes holomorphes, pour obtenir un cadre plus général où étudier la rigidité de contact. Finalement, un troisième ingrédient important du projet est de continuer la recherche sur les invariants spectraux en topologie symplectique et dynamique hamiltonienne. En plus de son intérêt intrinsèque, tout progrès dans cette direction conduit à un analogue de contact et donc à des implications intéressantes pour le thématique discutée ci-dessus.

Résultats

Le preuve du théorème de non-tassement de contact via les fonctions génératrices a montré le rôle crucial joué dans ce phénomène par les points translatés des contactomorphismes. Tandis que les fonctions génératrices ne s'appliquent qu'à une classe restreinte de variétés, la notion de points translatés est toujours définie et permet de formuler un analogue de contact de la conjecture d'Arnold. Motivée par cette conjecture, Sandon est en train de développer une homologie de Floer des points translatés. Cette théorie est sur le point d'être terminée dans un cas relativement simple (le cas dit «hypertendu«) et nous espérons que cela pourra servir de point de départ pour définir des invariants spectraux de contact et étudier les phénomènes de rigidité dans un cadre plus général que celui où s'appliquent les fonctions génératrices. Entre-temps Leclercq et Mazzucchelli ont indépendamment continué l'étude des invariants spectraux et de leurs applications en topologie symplectique et dynamique hamiltonienne, et Ferrand a travaillé avec Limouzineau sur la question consistant à déterminer, par une approche constructive, quels plongements legendriens peuvent être réalisés (ou pas) par des techniques de type «fonctions génératrices standard à l'infini«. Finalement, en collaboration avec Ghiggini, Golovko et Rizell, Chantraine a développé une théorie de Floer pour les cobordismes lagrangiens permettant de relier l'homologie singulière d'un cobordisme lagrangien à un invariant de contact (l'homologie de contact legendrienne) de ses extrémités. En collaboration avec Colin il a utilisé cette théorie pour donner des obstructions à l'existence de certains lacets positifs contractiles de sous-variétés legendriennes dans les variétés hypertendues ce qui a pour corollaire de prouver que celles-ci sont ordonnables.

Perspectives

Nous espérons que l'homologie de Floer des points translatés fournira un outil permettant de généraliser au cas de contact (certains aspects de) la théorie des invariants spectraux, dans un cadre plus général que le cadre délimité par les fonctions génératrices. Nous nous attendons aussi à des interactions intéressantes à explorer entre cette théorie et d'autres théories de type Floer en topologie de contact (homologie de contact, homologie de contact legendrienne, SFT) et avec la théorie de Floer pour les cobordismes lagrangiens actuellement développée par Chantraine et ses collaborateurs. Concernant également les relations entre sous-variétés legendriennes et transformations de contact, Leclercq a commencé (en collaboration avec Seyfaddini) l'étude de la rigidité des legendriennes sous l'action des homéomorphismes de contact. Ce projet fait intervenir une nouvelle capacité dont nous voulons étudier les relations avec les invariants spectraux. Les résultats obtenus par Chantraine en collaboration avec Colin devraient s'appliquer à un cadre plus général que celui des variétés hypertendues, maintenant que la théorie de l'homologie de contact est définie dans un cadre plus large grâce aux travaux récents de Pardon. Tandis que les projets mentionnés jusqu'ici utilisent surtout des techniques de courbes holomorphes, nous voulons aussi continuer à développer la théorie des fonctions génératrices. En effet nous espérons que la simplicité relative et le point de vue différent apportés par cette théorie (lorsqu'elle est applicable) pourraient permettre (comme cela a déjà été le cas par le passé) de découvrir de nouveaux phénomènes, qui s'avéreraient plus difficiles à déceler parmi les technicités de théories plus sophistiquées.

Productions scientifiques et brevets

Les travaux mentionnés ci-dessus ont donné lieu à:
- 4 publications dans des revues (à comité de lecture) internationales,
- 1 publication dans une revue (à comité de lecture) française,
- 5 pré-publications disponibles sur l'arXiv.
Ils ont également été discutés lors de:
- 12 conférences mathématiques internationales,
- 2 conférences mathématiques françaises,
- nombre d'exposés donnés dans les départements de nombreuses universités tant françaises qu'étrangères.

Partenaires

UMR 8628 du CNRS et LMO (Université Paris-Sud) Laboratoire de Mathématiques de l'Université Paris-Sud

Aide de l'ANR 99 999 euros
Début et durée du projet scientifique janvier 2014 - 48 mois

Résumé de soumission

Notre projet concerne la topologie de contact et la topologie symplectique.

Le premier but principal de cette collaboration est d'essayer de généraliser à la géométrie de contact, en partant des invariants spectraux de contact introduits récemment par Sandon, ce qui est connu concernant les invariants spectraux en topologie symplectique et en dynamique hamiltonienne (en particulier, ce qui a été étudié par Leclercq et Mazzucchelli) et utiliser ces propriétés pour en déduire des applications concernant les phénomènes de rigidité de type contact tels que le non-écrasement, et l'ordonnabilité, les points translatés, les métriques bi-invariantes et les quasimorphismes du groupe des contactomorphismes.

Notre second but principal est de trouver de nouvelles interactions entre les phénomènes de rigidité évoqués ci-dessus (qui peuvent être vus comme des phénomènes de rigidité globale des contactomorphismes) et les phénomènes de rigidité des sous-variétés legendriennes tels qu'étudiés récemment (entre autres) par Chantraine. Dans le but de réaliser ce programme, nous comptons utiliser le cadre fourni par les fonctions génératrices et/ou les techniques de courbes holomorphes, tout en essayant de profiter également des interactions entre ces deux méthodes.

Dans une autre partie importante de ce projet, nous désirons également continuer l'étude des invariants spectraux symplectiques et leurs applications aux propriétés géométriques et dynamiques des difféomorphismes hamiltoniens ainsi qu'à l'étude de la géométrie des ensembles de sous-variétés lagrangiennes des variétés symplectiques. Au-delà de son intérêt intrinsèque, nous considérons cette partie aussi comme un environnement commun et une source d'inspiration pour les deux buts principaux décrits ci-dessus.

 

Programme ANR : JCJC - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (JCJC SIMI 1) 2013

Référence projet : ANR-13-JS01-0008

Coordinateur du projet :
Monsieur Rémi LECLERCQ (Laboratoire de Mathématiques de l'Université Paris-Sud)

Site internet du projet : http://www.math.u-psud.fr/~leclercq/ANR/index.html

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.