Schémas Numériques utilisant les Bases Réduites de Réseaux – NS-LBR

Notre stratégie est fondée sur les bases réduites de réseaux, un outil classique de la géométrie discrète, toujours très étudié, qui trouve ici un champ d'application totalement nouveau dans la discrétisation des équations aux dérivées partielles.

Dans le cas des équations de Hamilton-Jacobi statiques anisotropes, ce programme de recherche a déjà rencontré de premier succès: une variante de l'algorithme du Fast-Marching, utilisant nos voisinages anisotropes, à permis d'améliorer le compromis temps de calcul / précision, sur des cas tests classiques et en comparaison avec l'état de l'art, de un à quatre (!) ordres de grandeur. Ceci signe la fin d'un verrou technologique, pour les méthodes de segmentation d'images (éventuellement volumiques) médicales développées par les membres du projet Cohen et Benmansour. Une part significative du projet sera dévolue à la valorisation de cette recherche mathématique, grâce à son implémentation dans un logiciel libre et le développement d'applications.

La diffusion anisotrope est une autre EDP fondamentale, dont les applications vont de la restauration d'images à la simulation hydraulique. Le coordinateur du projet et Fehrenbach on développé à cet effet des schéma numériques 2D et 3D respectant le principe du maximum, et fondés sur des voisinages de nombre d'éléments borné, pour des diffusions anisotropes arbitraires. Ses propriétés mathématiques - e.g. spectre de l'opérateur discret - et numériques - e.g. précision, complexité - sont en cours d'étude et prometteuses. Une part significative du projet sera dévolue à la fin de l'analyse de ce schéma, son implémentation dans un logiciel libre, et le dévelopment d'applications.

Des études prospectives d'autres EDPs sont en cours. Des applications économiques requièrent de résoudre des problèmes variationnels sous une contrainte de convexité globale. Les schémas numériques actuels pour ce problème on soit ont une complexité prohibitive, soit manquent de garanties théoriques. Des études théoriques préliminaires suggèrent qu'une discrétisation sur grille, utilisant nos voisinages anisotropes, permettrait des améliorations importantes. L'utilisation de nos voisinages sera également étudiée dans le cadre du transport optimal.

L'architecture de ce projet repose sur une innovation fondamentale : l'utilisation des Bases Réduites de Réseaux dans la discrétisation des EDP anisotropes. Ce projet combine de la recherche fondamentale (utilisation de ce type de schémas pour de nouvelles EDP), le dévelopement d'applications en imagerie médicale (fondées sur des EDP anisotropes de Hamilton Jacobi et de diffusion), et la distribution de codes numériques dans des logiciels libres de fort impact. Pour ce dernier point nous avons choisi ITK, une librairie C++ connue pour sa haute qualité et sa large diffusion, et qui comporte déjà des contributions d'un membre du projet.

Au cours de ce projet, nous développerons, étudierons, et distribuerons dans des logiciels libres, de nouvelles méthodes pour la discrétisation des Equations aux Dérivées Partielles (EDP) anisotropes, sur grille de dimension 2 ou 3. Nous nous focaliserons sur le cas où l'un au moins des opérateurs intervenant dans l'EDP est anisotrope, au sens où il fait apparaître des directions privilégiées non-uniformes sur le domaine de discrétisation, et non alignées avec les axes de coordonnées. Les discrétisations sur grilles sont naturelles en imagerie, que ce soit pour traiter des images ou des images volumiques
La discrétisation d'EDP anisotropes sur grilles est considérée comme difficile, car les schémas classiques fondées sur des voisinages isotropes (i.e. faits des k plus proches voisins) rencontrent des problèmes de précision, de performance et de stabilité. Notre objectif est de défaire ce verrou technologique, grâce à la construction de nouveaux voisinages anisotropes, adaptés à l'anisotropie locale. Pour ce faire, nous fonderons notre stratégie sur les bases réduites de réseaux, un outil classique de la géométrie discrète, toujours très étudié, qui trouve ici un champ d'application totalement nouveau dans la discrétisation des équations aux dérivées partielles.

Dans le cas des équations de Hamilton-Jacobi statiques anisotropes, ce programme de recherche a déjà rencontré de premier succès: une variante de l'algorithme du Fast-Marching, utilisant nos voisinages anisotropes, à permis d'améliorer le compromis temps de calcul / précision, sur des cas tests classiques et en comparaison avec l'état de l'art, de un à quatre (!) ordres de grandeur. Ceci signe la fin d'un verrou technologique, pour les méthodes de segmentation d'images (éventuellement volumiques) médicales développées par les membres du projet Cohen et Benmansour. Une part significative du projet sera dévolue à la valorisation de cette recherche mathématique, grâce à son implémentation dans un logiciel libre et le développement d'applications.
La diffusion anisotrope est une autre EDP fondamentale, dont les applications vont de la restauration d'images à la simulation hydraulique. Le coordinateur du projet et Fehrenbach on développé à cet effet des schéma numériques 2D et 3D respectant le principe du maximum, et fondés sur des voisinages de nombre d'éléments borné, pour des diffusions anisotropes arbitraires. Ses propriétés mathématiques - e.g. spectre de l'opérateur discret - et numériques - e.g. précision, complexité - sont en cours d'étude et prometteuses. Une part significative du projet sera dévolue à la fin de l'analyse de ce schéma, son implémentation dans un logiciel libre, et le dévelopment d'applications.
Des études prospectives d'autres EDPs sont en cours. Des applications économiques requièrent de résoudre des problèmes variationnels sous une contrainte de convexité globale. Les schémas numériques actuels pour ce problème on soit ont une complexité prohibitive, soit manquent de garanties théoriques. Des études théoriques préliminaires suggèrent qu'une discrétisation sur grille, utilisant nos voisinages anisotropes, permettrait des améliorations importantes. L'utilisation de nos voisinages sera également étudiée dans le cadre des équations de transport, avec l'objectif de réduire la diffusion numérique.

L'architecture de ce projet repose sur une innovation fondamentale : l'utilisation des Bases Réduites de Réseaux dans la discrétisation des EDP anisotropes. Ce projet combine de la recherche fondamentale (utilisation de ce type de schémas pour de nouvelles EDP), le dévelopement d'applications en imagerie médicale (fondées sur des EDP anisotropes de Hamilton Jacobi et de diffusion), et la distribution de codes numériques dans des logiciels libres de fort impact. Pour ce dernier point nous avons choisi ITK, une librairie C++ connue pour sa haute qualité et sa large diffusion, et qui comporte déjà des contributions d'un membre du projet.