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Blanc – Accords bilatéraux 2013 - SIMI 1 - Mathématiques & Interactions (Blanc – Accords bilatéraux 2013 - SIMI 1)
Edition 2013


SISYPH


Symétrie miroir et singularités irrégulières provenant de la physique

Symétrie miroir et singularités irrégulières provenant de la physique
SISYPH aborde les thèmes suivants, de manière indépendante ou en relation les uns avec les autres: la symétrie miroir comme un outil efficace pour le calcul d'invariants de Gromov-Witten, pour des variétés algébriques lisses ou des orbifoldes; les singularités irrégulières d'équations différentielles linéaire en toute dimension, du point de vue des D-modules holonomes et de celui des déformations isomonodromiques; les propriétés liées à la théorie de Hodge pour de tels systèmes différentiels.

Symétrie miroir en relation avec la théorie de Gromov-Witten, les singularités irrégulières et le phénomène de Stokes
L'ambition d'ensemble de ce projet est d'obtenir des avance´es importantes sur l'interaction entre la syme´trie miroir et les singularite´s d'e´quations diffe´rentielles line´aires en toute dimension. Un des aspects originaux du projet consiste a` obtenir des re´sultats dans chacun des the`mes en mettant en e´vidence l'interaction entre ces the`mes par l'utilisation de divers outils et me´thodes (ge´ome´trie alge´brique, the´orie de Hodge non commutative, the´orie des singularite´s et D-modules, ge´ome´trie symplectique) avec, a` l'arrie`re-plan, des motivations et des conjectures formule´es par des physiciens.
Les syste`mes diffe´rentiels hyperge´ome´triques ge´ne´ralise´s (syste`mes GKZ) feront l'objet d'un inte´re^t tout particulier, en tant que mode`les pour le D-module quantique d'une varie´te´ ou orbifolde torique. Ces syste`mes GKZ fournissent aussi une classe e´tendue d'exemples de D-modules holonomes a` singularite´s irre´gulie`res, sur laquelle des conjectures et des re´sultats pre´liminaires peuvent e^tre teste´s.
La compre´hension de la ge´ome´trie de diffe´rents types d'espaces de modules, comme ceux pour les singularite´s isole´es d'hypersurfaces, pour les courbes ou plus ge´ne´ralement pour les applications stables (qui entrent dans la de´finition me^me des invariants de Gromov-Witten), mais aussi pour les connexions me´romorphes sur les fibre´s vectoriels, est une des motivations les plus importantes de l'ensemble du projet.
Le projet a aussi pour but une meilleure compre´hension du phe´nome`ne de Stokes, qui est une proprie´te´ caracte´ristique des singularite´s irre´gulie`res d'e´quations diffe´rentielles complexes. L'intervention de ce phe´nome`ne en the´orie de Gromov-Witten ou dans les mode`les de Landau-Ginzburg sera au centre des pre´occupations du projet. Sa relation avec des proprie´te´s venant de la the´orie de Hodge (en particulier leur aspect non commutatif) permettra l'analyse des espaces de modules des singularite´s.

Espaces de modules, D-modules holonomes et systèmes GKZ
(a) Les espaces de modules sont au cœur de la plupart des questions considérées dans ce projet. Il y a une grande variété d'objets qu'ils paramètrent (courbes de niveau, applications stables, singularités, équations différentielles linéaires), de questions énumératives ou de classification auxquelles ils peuvent contribuer à la réponse (comptage de courbes, classification de singularités, solutions algébriques d'équations différentielles non linéaires du type de Painlevé) et de techniques (géométrie birationnelle, aspects anciens et nouveaux de la théorie de Hodge, géométrie de Poisson). Comprendre leur géométrie est un des objectifs principaux du projet. Des avancées dans un domaine serait profitable aux autres.
(b) Les singularités irrégulières d'équations différentielles en dimension supérieure (D-modules holonomes) forment un sujet qui a connu une évolution récente très importante. Les techniques et les résultats obtenus dans ce domaine devraient rapidement produire des conséquences dans de nombreuses questions concernant la symétrie miroir. Développer la théorie de Hodge dans ce contexte et appliquer cette théorie pour obtenir de nouvelles structures sur les espaces de modules est un autre objectif de ce projet.
(c) Les systèmes différentiels hypergéométriques en dimension supérieure (systèmes GKZ) sont un objet central, car ils forment en même temps le cadre de certains D-modules quantiques et un champ d'expériences pour de nombreux problèmes non triviaux concernant les singularités irrégulières.

Résultats

Analyse d'exemples fondamentaux de variétés caractères sauvages.
Introduction de la notion de modèles de Landau-Ginzburg hybrides.
Formules explicites pour le cycle fondamental virtuel dans certaines théories en genre 0. Application à l'équivalence de certaines hiérarchies de systèmes intégrables.
Description détaillée de la monodromie locale et du déterminant du foncteur de convolution moyenne de Katz dans le cadre l-adique.
Étude de certains systèmes de Gauss-Manin non modérés reliés à la petite cohomologie quantique d'hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids.
Introduction d'un langage conceptuel pour les objets géométriques sous-jacents aux équations de Painlevé et nouveuax résultats concernant les solutions réelles dune équation Painlevé III.
Interprétation du théorème de Serre quantique comme une dualité de D-modules quantiques tordus.
Détermination de la filtration de Hodge de certains systèmes différentiels hypergéométriques (GKZ) et applications à l'existence de structures de Hodge non commutatives sur certains D-modules quantiques.
Calcul de l'application miroir pour des familles formelle canoniques de variétés de Calabi-Yau.
Nouvelle structure de type Hodge sur la cohomologie associée à certains potentiels de Landau-Ginzburg. Démonstration de propriétés fondamentales de la théorie de Hodge pour ces structures.
Définition de la transformation de Laplace topologique pour un système local muni d'une structure de Stokes sur la droite complexe et calcul dans le cas d'un système différentiel élémentaire.
Confirmation d'une conjecture sur les singularités isolées quasi-homogènes d'intersection complète en petite dimension de plongement, et contre-exemple en grande dimension de plongement.
Étude des diviseurs libres quasi-homogènes.

Perspectives

Possibles calculs d'invariants de Gromov-Witten, essentiellement pour les variétés de Calabi-Yau, mais aussi d'autres variétés (hypersurfaces génériques dans les espaces projectifs à poids, variétés de Fano, de type général). Géométrie des espaces de modules correspondants. Construction de plusieurs sortes de symétrie miroir (homologique ou en termes de variétés de Frobenius), par exemple pour les variétés de type général ou pour les dégénérescences toriques. Meilleures compréhension des relations entre ces diverses symétries miroir, en particulier par la considération des D-modules quantiques.
Nous prévoyons aussi
- de construire un espace classifiant de structures de Hodge non commutatives irrégulières et d'étudier l'application de périodes associée à leur variation,
- d'obtenir une bonne théorie de D-modules de Hodge irréguliers, qui puisse être appliquée à plusieurs questions soulevées par la symétrie miroir,
- d'obtenir une correspondance miroir pour les espaces de modules de singularités irrégulières d'équations différentielles linéaires, à l'intérieur du cadre de la théorie de Hodge non abélienne.
Le phénomène de Stokes peut être vu comme principe organisateur de plusieurs manières. Rendre précise la relation entre matrices de Stokes et nombres spectraux des singularités (qu'on peut considérer comme des nombres de Hodge irréguliers) est une perspective intéressante. C'est une occurrence de la relation entre l'aspect Betti et l'aspect Hodge en théorie de Hodge sauvage. Le rôle du phénomène de Stokes dans la structure des variétés caractères sauvages doit être mieux compris.
Transversalement à ces trois thèmes, les systèmes hypergéométriques (GKZ) jouent un rôle central. La perspective est de rendre précis et calculables certains invariants d'irrégularité et de comprendre le phénomène de Stokes pour ces systèmes.

Productions scientifiques et brevets

1. M. Granger & M. Schulze, Normal crossing properties of complex hypersurfaces via logarithmic residues, Compos. Math. 150 (2014), no. 9, p. 1607-1622.
2. M. Granger & M. Schulze, Quasihomogeneity of curves and the Jacobian endomorphism ring, Commun. Algebra 43 (2015), no. 2, p. 861-870.
3. M. Hien & C. Sabbah, The local Laplace transform of an elementary irregular meromorphic connection, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, to appear.
4. Th. Reichelt & Ch. Sevenheck, Logarithmic Frobenius manifolds, hypergeometric systems and quantum D-modules, J. Algebr. Geom. 24 (2015), no. 2, p. 201-281.
5. Résumés des exposés de la conférence d’Oberwolfach, à paraître dans les « Oberwolfach Reports » (Birkhäuser).
6. Ph. Boalch, Geometry and braiding of Stokes data; fission and wild character varieties, Ann. Math. (2) 179 (2014), no. 1, p. 301-365.
7. Ph. Boalch, Poisson varieties from Riemann surfaces, Indag. Math., New Ser. 25 (2014), no. 5, p. 872-900.
8. A. Douai, Quantum differential systems and construction of rational structures, Manuscr. Math. 145 (2014), No. 3-4, 285-317.
9. Hiroshi Iritani, Étienne Mann & Thierry Mignon, Quantum Serre theorem as a duality between quantum D-modules, IMRN, to appear.
10. H. Ruddat, N. Sibilla, D. Treumann, E. Zaslow: Skeleta of Affine Hypersurfaces, Geometry & Topology 18 (2014), 41p.
11. H. Ruddat, Perverse Curves and Mirror Symmetry, J. Algebraic Geom., to appear.
12. C. Sabbah & Morihiko Saito, Kontsevich’s conjecture on an algebraic formula for vanishing cycles of local systems, Algebr. Geom. 1 (2014), no. 1, 107-130.
13. Hélène Esnault, C. Sabbah & Jeng-Daw Yu, E1-degeneration of the irregular Hodge filtration (with an appendix by Morihiko Saito), J. reine angew. Math. (2015).
15. C. Sabbah & Jeng-Daw Yu, On the irregular Hodge filtration of exponentially twisted mixed Hodge modules, Forum Math. Sigma 3 (2015), Article ID e9, 71 p.
15. C. Sabbah, Differential systems of pure Gaussian type, Izv. Math., to appear.


Partenaires

CMLS Centre de mathématiques Laurent Schwartz

 CNRS DR ILE DE FRANCE

Aide de l'ANR 90 000 euros
Début et durée du projet scientifique janvier 2014 - 36 mois

Résumé de soumission

L'ambition d'ensemble de ce projet est d'obtenir des avancées importantes sur l'interaction entre la symétrie miroir et les singularités d'équations différentielles linéaires en toute dimension. L'objectif général et l'originalité du projet consistent à mettre à profit l'expertise des participants dans différents domaines mathématiques pour faire avancer les différents thèmes du projet. Les partenaires français (financé par l'ANR) et allemand (financé par la DFG) ont une expertise complémentaire dans tous les thèmes du projet, et une longue expérience de collaboration. Les thèmes suivants seront abordés, aussi bien de manière indépendante qu'en relation les uns avec les autres:

- la symétrie miroir comme un outil efficace pour le calcul d'invariants de Gromov-Witten de différentes sortes, pour des variétés algébriques lisses ou des orbifoldes,

- les singularités irrégulières d'équations différentielles linéaire en toute dimension, aussi bien du point de vue des D-modules holonomes que de celui des déformations isomonodromiques,

- les propriétés liées à la théorie de Hodge pour de tels systèmes différentiels.

Un des aspects originaux du projet consiste à obtenir des résultats dans chacun des thèmes en mettant en évidence l'interaction entre ces thèmes par l'utilisation de divers outils et méthodes (géométrie algébrique, théorie de Hodge non commutative, théorie des singularités et D-modules, géométrie symplectique) avec, à l'arrière-plan, des motivations et des conjectures formulées par des physiciens.

Les systèmes différentiels hypergéométriques généralisés (systèmes GKZ) feront l'objet d'un intérêt tout particulier, en tant que modèles pour le D-module quantique d'une variété ou orbifolde torique. Ces systèmes GKZ fournissent aussi une classe étendue d'exemples de D-modules holonomes à singularités irrégulières, sur laquelle des conjectures et des résultats préliminaires peuvent être testés.

La compréhension de la géométrie de différents types d'espaces de modules, comme ceux pour les singularités isolées d'hypersurfaces, pour les courbes ou plus généralement pour les applications stables (qui entrent dans la définition même des invariants de Gromov-Witten), mais aussi pour les connexions méromorphes sur les fibrés vectoriels, est une des motivations les plus importantes de l'ensemble du projet. Bien que les premiers espaces soient bien connus pour être essentiels dans la formulation de la symétrie miroir, une question fondamentale sera de donner sens et comprendre aussi bien que possible la notion de symétrie miroir pour les espaces de modules de connexions à singularités irrégulières sur les surfaces de Riemann.

Le projet a aussi pour but une meilleure compréhension du phénomène de Stokes, qui est une propriété caractéristique des singularités irrégulières d'équations différentielles complexes. L'intervention de ce phénomène en théorie de Gromov-Witten ou dans les modèles de Landau-Ginzburg sera au centre des préoccupations du projet. Sa relation avec des propriétés venant de la théorie de Hodge (en particulier leur aspect non commutatif) permettra l'analyse des espaces de modules des singularités.

Ce projet devrait fournir aux équipes française et allemande les mmoyens nécessaires pour réaliser leurs objectifs scientifiques, en collaborant de manière plus efficace. La structure du projet explique qu'une partie du financement soit dédiée aux échanges entre les deux partenaires (voyages, séjours, workshops), ainsi qu'à l'invitation d'autres scientifiques reconnus. Cependant, la plus grande partie du financement aura pour but d'intégrer au projet des chercheurs post-doctorants afin de développer pleinement des directions de recherches spécifiques.

 

Programme ANR : Blanc – Accords bilatéraux 2013 - SIMI 1 - Mathématiques & Interactions (Blanc – Accords bilatéraux 2013 - SIMI 1) 2013

Référence projet : ANR-13-IS01-0001

Coordinateur du projet :
Monsieur Claude SABBAH (Centre de mathématiques Laurent Schwartz)

Site internet du projet : http://www.math.polytechnique.fr/SISYPH/sisyph.htm

 

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L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.