Groupes Algébrique et Théories Homologiques – GATHO

Développement de nouvelles catégories motiviques (motifs birationnels, motifs de Chow-Witt).
Théories Cohomologiques équivariantes.
Etude de la décomposition des motifs de Chow et applications à l'isotropie de structures algébriques.
Développement de la théorie de la descente pour les formes quadratiques.

Le projet ayant seulement démarré depuis quelques mois, il est trop tôt pour avoir des résultats sous forme de publications.
Une conférence est en voie d'organisation (mini-cours de Lens, juin 2013).
Le projet finance la participation de plusieurs membres au programme thématique «Torsors, Nonassociative Algebras and Cohomological Invariants« de l'Institut Fields, au Canada.

Un doctorant a été recruté à Lens sous la direction de B. Calmès, à compter de septembre 2013.

Voir:
bcalmes.perso.math.cnrs.fr/gatho/presentation/
Aucun brevet

La recherche des symétries d’un objet géométrique ou d’un problème est une approche désormais très classique en mathématique, et qui, en géométrie algébrique, s’incarne en l’étude des groupes algébriques et de leurs actions sur des variétés. Les variétés dignes d’intérêt paramètrent souvent des structures associées à des objets algébriques comme des algèbres centrales simples, des formes quadratiques, ou des classes d’objets comme les espaces de modules, et les progrès dans la compréhension de leur géométrie se traduisent par des résultats sur ces structures.
Une technique possible pour attraper certains résultats est l’étude d’invariants cohomologiques, au sens large, c’est-à-dire de groupes abéliens, ou de manière plus générale de catégories, naturellement associés au objets d’étude, et qui permettent de les distinguer ou d’en extraire certaines propriétés. Les groupes de Chow, la K-théorie algébrique, le cobordisme algébrique ou la cohomologie motivique sont des exemples de telles théories cohomologiques et leurs incarnations catégoriques se situent dans les différentes catégories motiviques ou la catégorie homotopique stable des schémas.

Le programme scientifique comporte plusieurs aspects. Le premier est de contribuer au travail de fondement et de développement de ces outils cohomologiques ou catégoriques, en plein essor. Le second a trait au calcul et à l’évaluation de ces outils sur des groupes algébriques ou des espaces homogènes. Enfin, le troisième consiste à se servir de ces outils pour résoudre des problèmes classiques d’algèbre, de géométrie, ou d’arithmétique. Par rétroaction, ces problèmes éclairent les directions prometteuses dans les développements des outils. Un des buts de ce projet est de pouvoir regrouper des spécialistes de chacun des aspects mentionnés pour faire des progrès conséquents.

Dans le détail, les thèmes de recherche seront les suivants:

Homotopie des schémas: théories orientées et équivariantes dans le cadre homotopique et motivique. Espaces classifiants et leurs cohomologies. Lien avec les groupes de Witt et de Chow-Witt des schémas.

Motifs de Chow: décomposition des motifs de variétés projectives homogènes, étude de leurs motifs supérieurs. Liens avec la dimension essentielle, le déploiement des algèbres centrales simples et l’isotropie des involutions.

Rationalité: corps de fonctions pour les variétés de groupes, problème de Noether sous l’action des groupes linéaires connexes, motifs birationnels.

Arithmétique: obstruction à l’approximation forte pour les points entiers de familles d’espaces homogènes, principe local-global sur différents corps, approximation faible sur des espaces homogènes sur des corps globaux, R-équivalence, principe de Hasse.

En résumé, le thème général du projet est donc l’étude des groupes algébriques, de leurs actions sur des variétés, principalement par des méthodes cohomologiques ou catégoriques à développer, puis d’en tirer des applications en algèbre classique, en géométrie ou en arithmétique.
Au sein de ce projet, pour en diffuser les résultats, nous organiserons une conférence, une série de mini-cours à Lens, des séminaires. Nous prendrons également en charge un doctorant et un post-doctorant pour développer certains thèmes du projet.